По финансовой математике вариант

метки: Ставка, Период, Процент, Сумма, Финансовый, Начислить, Число, Наращение

Российская экономика все более интегрируется в мировую экономику, что требует использования финансового инструментария, применяемого развитыми странами и международными организациями в финансовой практике.

Становление рыночных отношений в России сопровождается появлением навыков и методов, которыми приходится овладевать для оценки инвестиционных проектов, в операциях на рынке ценных бумаг, в ссудо-заемных операциях, в оценке бизнеса и др.

Кардинальное изменение банковской системы, внедрение новых форм собственности, развитие фондового рынка и финансовой самостоятельности предприятий сделали актуальным управление финансовыми ресурсами, одним из краеугольных элементов которого являются финансовые вычисления, базирующиеся на понятии временной ценности денег.

С экономической точки зрения процент представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

Основная единица времени (год, квартал, месяц, день) называется базовой. Временной интервал, в конце (а иногда — в начале) которого начисляются проценты за этот интервал, называется конверсионным периодом или периодом начисления.

Если длина конверсионного периода совпадает с базовой единицей времени, то соответствующая процентная ставка называется эффективной.

Кредитор является инвестором, а предоставленные им заемщику средства — капиталом. При заключении финансового или кредитного соглашения стороны договариваются о размере процентной ставки. Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Формула наращения по простым процентным ставкам: расчёт процентов для краткосрочных ссуд, переменные ставки, начисление процентов при изменении сумм депозита во времени

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита) S понимают первоначальную сумму P с процентами I, начисленными к концу срока ссуды.

В случае, когда срок ссуды t больше периода начисления T (для простоты будем считать, что t = T ^‘ n, где n — целое число) в конце первого периода начисления наращенная сумма увеличится на величину процентов, начисленных за первый период, и будет равна:

S 1 = P + I1

(1.1)

где

I ₁ = i^‘ P — проценты, начисленные за первый период T,

i — процентная ставка.

Множитель (коэффициент) наращения будет равен

k = S 1 /P = (P + I1 )/P = 1 + i

(1.2)

Если начисление процентов I в каждом из периодов T осуществляется на исходную сумму P, то величина процентов, начисленных за каждый период T, всегда будет равна i ^‘ P. Иными словами, база начисления в этом случае всегда равна первоначальной сумме, а величина процентов I одинакова в каждом из последующих периодов начисления T, на котором определена ставка начисления процентов i.

Такой способ начисления процентов представляет собой правило начисления простых процентов.

Определение: При начислении простых процентов база начисления всегда равна первоначальной сумме, а величина процентов I одинакова в каждом из последующих периодов начисления T, на котором определена ставка начисления процентов i.

Таким образом, согласно этому правилу, за n периодов результирующее наращение равно сумме всех процентов, начисленных за прошедшие n периодов начисления

I общ = I1 + I2 + I3 + … + In = n ‘ P ‘ i

(1.3)

Наращенная сумма S определится по формуле

S = P + I общ = P + n ‘ P ‘ I = P ‘ (1 + n ‘ i)

(1.4)

а множитель наращения будет равен

k = S/P = (P + n ‘ P ‘ i)/P = 1 + n ‘ i

(1.5)

В формулах (1.3) — (1.5) n = t/T — целое число периодов начисления, T — период начисления, t — время размещения ссуды (для простоты считается кратным T.)

ПРИМЕР: Найти величину процентов и значение множителя наращения для случая начисления простых процентов за 3, 7 и 18 лет по годовой ставке 0,25 на депозит в размере 240 090 руб.

Таблица 1.1

Показатель	3 года	7 лет	18 лет
Проценты I	180 067,50 руб.	420 157,50 руб.	1 080 405,00 руб.
Множитель наращения k	1,75	2,75	5,5

Следует отметить, что ставка начисления i здесь представляет собой десятичную дробь, которую часто выражают в процентах. Связь дробного значения i и процентного представления ставки i% определяется выражением

i= i%/100%.

(1.6)

Воспользуемся выражением (1.46) откуда следует, что I _общ =n ^‘ P ^‘ i, а так же выражением (1.5) полученные результаты приведены в табл. 1.1.

В общем случае, срок ссуды t не обязательно равен целому числу n периодов начисления T:

t = n ‘ T + t

(1.7)

где t < T.

Величина начисленных процентов в этом случае будет складываться из процентов I(n ^‘ T), начисленных за целое число периодов, и процентов I(t), начисленных за оставшийся срок t:

I = I(n ‘ T) + I(t)

Величина процентов за целое число периодов I(n ^‘ T) определяется (1.4):

I(n ‘ T) = P ‘ n ‘ i

проценты, начисленные за оставшееся время t, будут меньше чем проценты за полный период T. Очевидно, что величина процентов за период меньший периода начисления T будет пропорциональна отношению t/T

I(t)=P ‘ (t/T) ‘ i

Таким образом, формула начисления процентов I за произвольный период времени t имеет вид:

I =P ‘ n ‘ I + P ‘ (t/T) ‘ I = P ‘ (n + t/T) ‘ I = P ‘ i ‘ (t/T)

(1.8)

а множитель наращения k равен:

k = S/P = (P + I)/P = 1 + (t/T) ‘ I = 1 + (n + t/T) ‘ i

(1.9)

Окончательно формула начисления простых процентов за произвольный период времени принимает вид

S = P ‘ (1 + (t/T) ‘ i)

(1.10)

Если период времени начисления процентов меньше, чем период T на котором определена ставка i, выражение (1.10) принимает вид

S = P + I(t) = P ‘ (1 + (t/T) ‘ i)

(1.11)

ПРИМЕР: Рассчитать величину процентов, начисляемых на депозит P = 645 120 руб. по ставке i = 23,8% с периодом начисления 360 дней за сроки, приведенные в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Показатель	25 дней	65 дней	121 день	438 дней
Начисленные проценты I	10 662,40р.	27 722,24р.	51 606,01р.	187 008,48р.
Множитель наращения k	1,0165	1,0430	1,0800	1,2896

ПРИМЕР 1. Найти удержанные проценты за ссуду 3 000 руб., начисленные за 5 месяцев по простой ставке 7% годовых.

Решение: Мы имеем исходную сумму долга по ссуде P = 3 000, ставку наращения по ссуде i = 0,07 и t/T = 5/12. Таким образом, проценты, начисленные к концу срока ссуды, будут равны I = P ^‘ I ^‘ t/T = 3 000 ^‘ 0,07 ^‘ (5/12) = 87,5 руб.

ПРИМЕР 2. Найти проценты и итоговую сумму, если 5 000 руб. даны взаймы на 100 дней при простой ставке 4% годовых.

Решение: Исходная сумма P = 5 000 руб., годовая ставка простых процентов i = 0,04 и отношение срока операции к периоду, где определена ставка t/T = 100/365. Тогда процентные деньги в конце займа I = 5 000 ^‘ 0,04 ^‘ (100/365) = 54,8 руб. Общая сумма долга по займу соответственно будет равна S = 5 000 + 54,8 = 5 054,8 руб.

ПРИМЕР 3. Человеку, который инвестировал 100 000 руб., возмещены 101 000 руб. девяносто днями позже. С какой нормой (ставкой) зарабатывались эти деньги при обыкновенном простом проценте?

Решение: Исходная сумма инвестиций P = 100 000 руб., сумма средств, вырученная от инвестиций S = 101 000 руб. и t = 90/360 = 1/4. Теперь, так как S = P + I, найдем процентные деньги I = S — P = 101 000 — 10 000 = 1 000.

Но из (1.10) I = P ^‘ i ^‘ t/T, поэтому i = I/(P ^‘ t/T) = 1000/(100000 ^‘ (1/4)) = 0,04, или 4%.

ПРИМЕР 4. Через 60 дней после займа клиент выплатил ровно 10 000 руб.

Сколько было занято, если 10 000 руб. включают основную сумму и обыкновенный простой процент при 12% годовых?

Решение: Общая сумма долга в конце займа S = 10 000, ставка по долгу i = 0,12 и t/T = 60/360 = 1/6. Подставляя эти значения в выражение для наращенной суммы S = P ^‘ (1 + i ^‘ t), получим 10 000 = P ^‘ (1,02), откуда P = 10 000/1,02 = 9 804 руб.

В случае, когда на периоде T, где определена ставка наращения i, начисление процентов происходит m раз (рис. 1.1) рассматривают временной отрезок t ₁ = T/m. В конце периода t₁ согласно (1.10) начисляются проценты величиной

I 1 = (t1 /T) ‘ i.

Соответственно наращенная к концу этого (первого) периода сумма S ₁ будет равна

S ₁ = P ^‘ (1 + (t₁ /T) ^‘ i) = P ^‘ (1 + i/m),

за два таких периода t ₂ = 2^‘ T/m соответственно

S ₂ = P ^‘ (1 + (t₂ /T) ^‘ i) = P ^‘ (1 + 2 ^‘ i/m),

за m периодов t _m = m ^‘ T/m

S _m = P ^‘ (1 + i),

а за произвольный отрезок времени t

S = P ‘ (1 + (t/t0 ) ‘ (i/m))

(1.12)

где

t ₀ = T/m — период начисления процентов.

Величина ставки начисления процентов может изменяться в различные периоды времени. Пусть ставка начисления i, с периодом начисления T, изменяется в течение времени согласно табл. 1.3.

Таблица 1.3

№ п/п	Величина ставки, %	Дата		Количество дней
		начала действия	окончания действия
1	12,5	01.01	04.03	63
2	14	05.03	01.06	88
3	15	02.06	02.09	92
4	15,8	03.09	31.12	119

Исходная сумма долга P за весь период t = t ₁ + t₂ + t₃ + t₄ возрастет на величину начисленных за весь период процентов I_общ . Величина начисленных за весь период процентов I_общ представляет собой сумму процентов I_j , начисленных в каждом периоде по ставке i_j , действующей в этот период времени t_j :

I общ = I1 + I2 + I3 + I4

Согласно выражению (1.8), начисленные в каждом периоде проценты определяются выражением

I j = P ‘ ij ‘ tj /T

где

i _j — значение ставки начисления в соответствующий ей период начисления t_j .

Следовательно, формула наращения исходной суммы P за счет начисления процентов I _j по различным в разные периоды времени t_j ставкам начисления i_j принимает вид:

S = P + P ‘ S(ij ‘ tj )/T = P ‘ (1 + S(ij ‘ tj )/T)

(1.13)

где

i _j — величина ставки начисления за период t_j ;

• j = 1, 2, 3, 4 — число периодов с различными ставками начисления.

ПРИМЕР: Ссуда в размере P = 100 000 руб. выдана заемщику сроком на год (365/365) ставка по ссуде при этом в течение года менялась согласно табл. 1.3. Требуется определить величину начисленных процентов для каждого из значений ставки и сумму процентов, начисленных за год.

№ п/п	Величина ставки, %	Дата		Количество дней действия ставки	Проценты, начисленные по действующей ставке	Текущая сумма с учетом начисленных процентов
		начала действия ставки	окончания действия ставки
1	12,50	01.01	04.04	63	2 157,53 р.	102 157,53 р.
2	14	04.03	01.06	89	3 413,70 р.	105 571,23 р.
3	15	01.06	02.09	93	3 821,92 р.	109 393,15 р.
4	15,80	02.09	31.12	120	5 194,52 р.	114 587,67 р.

Следует отметить, что в общем случае для различных периодов t _j различными может оказаться не только ставка начисления i_j , но и период начисления T_j по данной ставке, что тоже необходимо учитывать:

S = P + P ‘ S(ij ‘ tj )/Tj = P ‘ (1 + S(ij ‘ tj )/Tj )

(1.14)

В некоторых случаях по условиям контракта сумма депозита P может изменяться по величине, т.е. в течение срока депозита t осуществляются вложения p _j и при этом база начисления процентов увеличивается или осуществляются списания q_j и база начисления процентов уменьшается. Начисление процентов в этом случае осуществляется по каждому периоду t_j в течение, которого величина депозита R_j (база начисления) не изменяется.

R j = P +Spj — Sqj

где

Spj и Sqj — результирующие вложения и списания к началу периода, в течение которого сумма депозита не меняется.

Величина процентов на каждом периоде определяется выражением

I j = R j ‘ i ‘ t1 /T

(1.15)

Говорить о результирующем наращении S за весь период операции в данном случае нет смысла, поскольку на каждом из периодов t _j база начисления изменяется и определяется выражением

S = SS j = P + S(Rj ‘ ij ‘ tj /T)

(1.16)

Величину же начисленных процентов I _j для каждого периода t_j можно представить в виде

I j = Rj ‘ i% ‘ tj /T ‘ 100%

(1.17)

где

i% — ставка начисления, выраженная в процентах.

Введём величину

r j = Rj ‘ tj /100%

(1.18)

называемую процентное число и величину

c = T/i%

(1.19)

называемую процентный делитель, получим следующее выражение для получения процентов, начисленных для каждого значения суммы депозита

I j = rj /c

(1.20)

Такое представление (1.20) удобно для расчётов начисляемых процентов.

ПРИМЕР: Пусть величина депозита P, размещенного на срок t = 561 день под процентную ставку i = 14,7% с периодом начисления T = 365 дней, изменяется во времени согласно табл. 1.4. Требуется определить величину начисленных процентов за весь срок t, процентные числа r _j и процентный делитель c.

Таблица 1.4

Даты поступления/ списания	Число дней постоянного значения депозита	Сумма поступления/ списания, руб.	База начисления, руб.	Процентное число r j	Проценты I j , руб.
02.01		25 000
24.03	82	42 000	25 000	2 050 000	825,62
15.08	144	-2 000	67 000	9 648 000	3 885,63
17.09	33	1 420	65 000	2 145 000	863,88
29.11	73	-13 403	66 420	4 848 660	1 952,75
03.01	35	4 004	53 017	1 855 595	747,32
06.04	93	-6 877	57 021	5 302 953	2 135,71
16.07	101	4 238	50 144	5 064 544	2 039,69

c = 2482,993197.

Дисконтирование по простым процентным ставкам: математическое дисконтирование, банковский учёт (учёт векселей), наращение по учётной ставке

Дисконт — разница между ценой финансового обязательства в настоящий момент и стоимостью финансового обязательства при погашении.

Дисконтирование- процесс оценки текущей стоимости суммы, которая будет получена в будущем.

Дисконтирование — процесс обратный наращению. При наращении находится наращенная стоимость S сегодняшних средств P. При дисконтировании же определяется современная (сегодняшняя, текущая) стоимость P будущего платежа S.

Таблица 2.1

Исходная сумма P	RнаращениеR	Наращенная сумма S
Современная стоимость P	дисконтирование	Будущий платеж S

Продемонстрировать дисконтирование возможно при использовании ставки наращения i, выразив из (1.10) P через S, где для простоты положим S = 0:

S = P ‘ (1 + i ‘ n) или P = P /(1 + i ‘ n)

(2.1)

где множитель

L = 1/(1 + i ‘ n)

(2.2)

называют коэффициентом дисконтирования. Он показывает во сколько раз современная стоимость P меньше будущего платежа S.

Классическая операция банковского учета заключается в том, что финансовое учреждение (банк) приобретает платежное обязательство до срока t < t _n его исполнения по цене P меньшей, чем это предусмотрено финансовым обязательством S в момент его исполнения t_n . То есть будущий платеж S приобретается досрочно по некоторой современной стоимости P(t):

P(t) = S — D(t)

(2.3)

где

D(t) — величина дисконта в момент времени t.

Данный подход к определению современной стоимости будущего платежа отражает различную ценность денег в различные моменты времени. Очевидно, что по мере приближения к дате исполнения обязательства современная стоимость P(t) должна приближаться к величине будущего платежа S и в момент исполнения обязательства t _n современная стоимость P(t_n ) равна величине обязательства S.

С другой стороны, чем раньше (за более долгий срок до исполнения) обязательство предъявляется к исполнению, тем меньше его стоимость. Это обусловлено тем, что раньше полученные денежные средства могут быть направлены в рост.

По аналогии со ставкой наращения i можно ввести учётную ставку дисконтирования d определенную на отрезке времени t _n — t, как отношение величины дисконта D(t) к сумме исполнения финансового обязательства S

d=D(t)/S

(2.4)

и преобразовать выражение (2.3) к виду ^‘

P(t)=S ‘ (1- d).

(2.5)

При этом величина дисконта за период времени t _n — t равна D(t)=S*d,

где t — дата учёта финансового обязательства, t _n дата исполнения обязательства S.

Если в качестве периода времени t _n — t выбран год T, ставку d называют годовой дисконтной (учётной) ставкой d.

В том случае, если каждый год дисконт одинаковый D= S*d, то современная стоимость P(k) за k лет до исполнения обязательства S очевидно будет равна

P(k)=S ‘ (1-d ‘ k)

(2.6)

Данное правило дисконтирования называют простым дисконтированием, а учётную ставку d простой учётной (дисконтной) ставкой.

В общем случае время t от даты учёта финансового обязательства до даты исполнения финансового обязательства произвольно и по аналогии со ставкой наращения современная стоимость будущего платежа будет иметь вид

P(t) = S ‘ (1-d ‘ t/T)

(2.7)

С другой стороны, t можно представить как сумму целого числа лет n и периода времени t, меньшего чем год n ^‘ T + t, где n =1,2,3,.. целое число лет, t — нецелая часть года. Тогда выражение, определяющее современную стоимость финансового обязательства за срок n ^‘ T + t до погашения, будет иметь вид:

P(t) = S ‘ (1 — d ‘ (n + t/T))

(2.8)

Если период времени от момента учёта финансового обязательства до момента погашения финансового обязательства является целым числом лет n, т.е. t = 0 выражение (2.8) будет иметь вид

P(n) = S ‘ (1 — d ‘ n).

(2.9)

Величина дисконта к моменту учёта финансового обязательства соответственно определится как

D = S — P(t) = S ‘ d ‘ n

(2.10)

и равна произведению номинала обязательства S на учётную ставку d умноженные на целое число лет n срока дисконтирования.

При сроках от момента учёта финансового обязательства до момента погашения финансового обязательства меньше года выражение (2.8) принимает вид.

P(t) = S ‘ (1 — d ‘ t/T)

(2.11)

Величина дисконта к моменту учёта финансового обязательства соответственно определится как

D = S-P(t) = S ‘ d ‘ t/T

(2.12)

произведение номинала на учётную ставку, умноженные на отношение срока до погашения к периоду, на котором определёна учётная ставка.

Для процесса дисконтирования, с использованием годовой учётной ставки d можно ввести выражение для определения коэффициента дисконтирования L, показывающего во сколько раз современная стоимость меньше будущего платежа. По аналогии с (2.2) из выражения современной стоимости (2.8) получаем выражение

L = P/S = 1/(1 — d ‘ (n + t/T))

(2.13)

для коэффициента дисконтирования. Очевидно, что коэффициент дисконтирования L всегда меньше единицы, поскольку современная стоимость P всегда меньше значения будущего платежа S.

ПРИМЕР 1. Клиент банка приобрел вексель с дисконтом 2500 руб. за 45 дней до погашения. Каков номинал векселя, если при покупке простая учетная ставка составляла 3% годовых (365/365).

Решение: Номинал векселя можно определить из выражения для определения дисконта, откуда следует, что его величина есть отношение произведения дисконта на период, где определена ставка к произведению величины учетной ставки на период до погашения векселя S = D ^‘ T/d ^‘ (t₀ — t) = 2500 ^‘ 365/0,03 ^‘ 45 = 675 925,92.

ПРИМЕР 2. Определить коэффициент дисконтирования для векселя, учтенного банком за 90 дней до погашения по простой ставке 2,5% годовых (365/360).

Решение: Коэффициент дисконтирования, равный отношению учетной стоимости векселя к его номиналу, определяется выражением 1 — d ^‘ (t — t₀ ) = 1 — 0,025 ^‘ 90/360 = 0,25.

ПРИМЕР 3. Определить время покупки векселя при простой учетной ставке 5% годовых с соблюдением требования приобрести вексель за три четверти номинала (365/365).

Решение: Коэффициент дисконтирования по данной операции равен 3/4, с другой стороны коэффициент дисконтирования равен разности единицы и произведения учетной ставки на значение срока до погашения, отнесенное к периоду T = 365 дней, на котором определена учетная ставка, т.е. 3/4 = 1 — d ^‘ (t — t₀ )/T = 1 — 0,05 ^‘ (t — t₀ )/365. Откуда срок до погашения в днях будет равен (t — to)/T = (1 — 3/4)/0,05 = 5 ^‘ 365 = 1 825 дней.

Если учет обязательства, согласно оговоренным условиям, осуществляется m раз в течение года (T) по годовой учетной ставке d, то рассуждая по аналогии со случаем начисления процентов m раз за период T (см. лекцию 1 (1.14), выражение (2.4) можно представить в виде

P = S ‘ (1 — d ‘ k/m)

(2.14)

где

m — число периодов дисконтирования за год T;

• d — годовая учетная ставка;
• k — число лет.

Для универсальности использования и удобства запоминания выражения, определяющего современную стоимость будущего финансового обязательства, выражение (2.8) используют в виде

P = S ‘ (1 — d ‘ t/T)

(2.15)

где

T — временная база учетной ставки d;

• t -период времени от момента, в который определяется современная стоимость P, до момента исполнения финансового обязательства S.

Следует отметить, что по смыслу величина современной стоимости финансового обязательства P(t) не может быть отрицательной, т.е. финансовое обязательство S, приведенное к настоящему моменту, должно иметь ненулевую цену P ³ 0. Этот факт накладывает ограничения, например, на значения величины учетной ставки d, т.е.

(1 — d ‘ (k + t/T)) > 0 или d < T/t, d < 1/k

(2.16)

иными словами при нарушении условий (2.16) теряется содержательный смысл выражений (2.7-2.9).

Условия (2.16) определяют область допустимых значений при дисконтировании, т.е. ограничений на значение ставки d, периода T, где она определена, и величину срока t от учета до исполнения обязательства.

ПРИМЕР 1. Владелец векселя номиналом 100 000 руб. учел его за 90 (360/360) дней до погашения при ставке дисконтирования 20%. Сколько получил владелец векселя?

Решение: Номинал векселя 1 000 000 руб., t/T = 90/360 = 1/4 и d = 0,2. По формуле S = P ^‘ (1 — d ^‘ t/Т) получаем P = 1 000 000 ^‘ (1 — (0,2 ^‘ 1/4)) = 950 000 руб.

ПРИМЕР 2. Вексель номиналом 10 175 руб., погашаемый через 60 дней, продан банку, который установил 7%-ную норму дисконта. Какой будет выручка?

Решение: Здесь номинал векселя S = 10 175 руб., t/T = 60/365 и простая учетная ставка d = 0,07. По формуле, определяющей современную стоимость векселя P = S ^‘ (1 — d ^‘ t) получаем P = 10 175 ^‘ (1 — (0,07 ^‘ 60/365) = 10 057,92 р.

ПРИМЕР 3. Клиент намеревается получить ссуду в сберегательном банке на 120 дней. Если банк начисляет проценты по ссуде по учетной ставке 6,5%, каковы расходы клиента, если он получил на руки 100 000 руб.?

Решение: Нам нужно определить общую сумму долга по ссуде S в конце срока, имея следующие данные: исходная задолженность P = 100 000 руб., срок t = 120, ставка определена на периоде T =360, t/T = 1/3 и простая учетная ставка d = 0,07. Из формулы, определяющей современную стоимость общей задолженности при использовании учетной ставки d, имеем P = S ^‘ (1 — d ^‘ t/T), что дает выражение для определения искомой величины S = P/(1 — d ^‘ t/T) = 100 000/(1 — (0,07/3)) = 97 666,67 руб.

Определение срока ссуды и величины процентной ставки

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

n = (FV — PV) : (PV i)

(3.1)

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

t = [(FV — PV) : (PV i)] T

(3.2)

Пример 1. На сколько дней можно дать в долг 1’000 долларов, исходя из 8% годовых, если возвращенная сумма будет составлять 1’075 долларов?

Решение:

Исходя из формулы срока долга для простых процентов, следует:

для обычных процентов

t = [(FV — PV) : (PV

• i)]
• T =

= [(1’075 — 1’000) : (1’000

• 0,08)
• 360 = 338 дней;

для точных процентов

t = [(FV — PV) : (PV

• i)]
• T =

= [(1’075 — 1’000)/(1’000

• 0,08)
• 365 = 342 дня.

Таким образом, сумма в 1’000 долларов может быть предоставлена на срок в 342 дня, если в условиях финансовой операции будет использован термин «точные проценты», а по умолчанию или использованию термина «обыкновенные проценты», срок ссуды сокращается до 338 дней.

Необходимость определения уровня процентной ставки возникает в тех случаях, когда она в явном виде в условиях финансовой операции не участвует, но степень доходности операции по заданным параметрам можно определить, воспользовавшись следующими формулами:

i = (FV — PV) : (PV n) = [(FV — PV) : (PV t)] T

(3.3)

Пример 2. В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме 1’200 долларов, при первоначальной сумме долга 1’150 долларов. Определить доходность операции для кредитора в виде процентной ставки.

Решение:

Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу «обыкновенного процента», поскольку в условиях сделки нет ссылки на «точный процент»:

i = [(FV — PV) : (PV

• t)]
• T =

= [(1’200 — 1’150) : (1’150

• 120)]
• 360 = 0,13

Таким образом, доходность финансовой операции составит 13% годовых, что соответствует весьма высокодоходной финансовой операции, т.к. обычно доходность подобных операций колеблется от 2% до 8%.

Заключение

Бизнес (по-русски — дело) требует умения правильно оценивать финансовые последствия при совершении сделок. Общее, универсальное правило в бизнесе состоит в том, что цена сбыта выше цены приобретения.

Деньги, денежные средства, как универсальный эквивалент материального обращения, в отличие от других универсальных человеческих ценностей, таких как красота, талант, здоровье, знания, квалификация, общение могут быть заимствованы Заимствование — простейший вид финансовой сделки (операции) заключающийся в предоставлении некоторой суммы в долг, с условием возврата через какое-то время и, как правило, в большем объеме. Возврат денег в большем объеме, наращение суммы исходного долга к моменту возврата, обусловлено фактором неравноценности денег относительно различных моментов времени.

Временная ценность денег является объективно существующей характеристикой денежных ресурсов в условиях рынка <Время — деньги>. Неравноценность денег во времени проявляется тогда, когда есть возможность их превращения в капитал, т.е. должна существовать возможность инвестиций. Иными словами — возможность изъять денежные средства из потребления и пустить их в оборот «деньги-товар-деньги», который через некоторое время вернет вложенные деньги с прибылью. Важно то, что временная ценность денег актуальна только при наличии возможности их вложения, приносящего их рост.

Процесс увеличения с течением времени значения какой-либо величины, например, задолженности или величины вклада, в финансовой математике обозначают термином «наращение». Так в случае коммерческого заимствования денег, взятая в долг сумма P как правило должна быть возвращена в большем объёме S, то есть исходная сумма долга вырастет к моменту возврата долга. Разница между взятой в долг суммой P и возвращенной в большем объеме суммой S называется процентными деньгами, процентом I.

Список использованной литературы

1. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента. – М.: «Финансы и статистика», 2010. – 245 с.
2. Бухвалов А., Бухвалова В., Идельсон А. Финансовые вычисления для профессионалов. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 320 с.
3. Ершов Ю.С. Финансовая математика, ООО «Бизнес ПРАКТИКА», Новосибирск, 2008. – 212 с.
4. Жуленев С.В. Финансовая математика. – М.:МГУ, 2009. – 358 с.
5. Комзолов А.А., Максимов А.К., Миловидов К.Н. Финансово-математические модели. – М.: «РГУНГ им. И.М. Губкина», 2009. – 325 с.
6. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 247 с.
7. Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа. Мн.: БГУ, 2007. – 318 с.
8. Просветов Г.И. Финансовый менеджмент: задачи и решения. М: Альфа-Пресс, 2007. – 340 с.
9. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2002. – 400 с.
10. Ширяев А.Н. Основы стохастической и финансовой математики. Т.1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 2008. — 489 с.

Контрольная работа 2

Задача 3

Фермер собирает деньги на постройку нового коровника и положил в банк 100 — 000 р. Через 2 года 6 месяцев на счете было 120— 000 р. Сколько процентов (простых) выплачивает банк в год?

Решение :

Выразим ставку процентов из формулы: S=P*(1+ni)

120 000=100 000*(1+2 6/12 i)

1+2,5i=120 000/(100 000)

1+2,5i=1,2

2,5i=1,2-1

2,5i=0,2

i=0,2*1/2,5=0,08 или 8%.

Проверка: S=100 000*(1+2 6/12*0,08)=120 000 руб.

Ответ : Банк выплачивает в год=8%.

Задача 63

Предполагаемый темп инфляции 12 % в год. Какую ставку сложных процентов нужно проставить в контракте, если желательная реальная доходность 8 %? Чему равна инфляционная премия?

Решение :

Согласно формуле И. Фишера реальная и номинальная ставки процента связаны следующим образом:

i=r+π^e+rπ^e

где i — номинальная ставка процента;

— r — величина реальной доходности (барьерная ставка);

— p e — ожидаемый темп инфляции.

Найдем ставку сложных процентов, которую нужно проставить в контракте:

i=0,08+0,12+0,08*0,12=0,2096 или 20,96 %.

Найдем чему равна инфляционная премия:

20,96%-8%=12,96%.

Ответ : Ставка сложных процентов = 20,96 %. Инфляционная премия = 12,96 %.

Задача 93

Заем 10 000 д. е. взят на 8 лет под 8 % годовых. Погашаться будет ежегодными равными выплатами. Найдите размер этой выплаты.

Решение :

Конечная сумма займа:

S = P(1 + i)^n= 10 000*(1+0,08)^8= 18 509,3 руб.

Следовательно, полугодовые выплаты равны:

q = S/t = 18 509,3/8= 2 313,663 руб.

Ответ : Каждая уплата = 2 313,663 руб.

Задача 123

Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 17% (365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 780 дней?

Решение :

Приравниваем множители наращения в формулах:

1+ni_s=(1+i)^n;

— i=√(n&1+ni)-1;

— i=√(780/365&1+780/365*0,17)-1=0,1561 или 15,61%.

Ответ : 0,1561 или 15,61%

Задача 12

Г-н Иванов приобрел в кредит набор мебели, обязавшись выплачивать за него по 200 р. каждый квартал в течение 3 лет. Через год, сделав четыре платежа, г-н Иванов пожелал сразу погасить оставшийся долг. Какую сумму он должен заплатить, если на деньги начисляются 8% годовых (простых)?

Решение :

Определим общую сумму долга S:

S=200*4*3=2 400 руб.

Приведем сумму S к моменту заключения контракта:

Р= 2 400/((1+0,08*3) )=1 935,484 руб.

Это цена набора мебели при уплате наличными.

Представим ее состоящей из двух сумм: одной, которую он погасил четырьмя платежами в течение года, и другой — которую необходимо

погасить через год.

S_1=200*4=800 руб.- сумма,выплаченная за год.

Эта сумма эквивалентна сумме на момент заключения контракта:

Р_1=800/((1+0,08*1) )=740,7407 руб.

Долг господина Иванова, приведенный к моменту заключения контракта:

Р_2=1 935,484 руб.-740,7407 руб.=1194,743 руб.

Чтобы погасить этот долг через год без потерь для кредитора господин Иванов должен заплатить:

S_2=1194,743*(1+0,08*1)=1290,323 руб.

Ответ : 1290,323 руб.

Задача 42

Рассчитайте будущую стоимость облигации номиналом 500 тыс. р., выпущенной на пять лет, если предусмотрен следующий порядок начисления процентов: в первые два года — 13,5% годовых, в следующие два года — 15% и в последний год — 20% годовых.

Решение :

Если предусмотрены изменяющиеся во времени процентные ставки, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:

SV=PV*[(1+i_1 )^(n_1 )*(1+i_2 )^(n_2 ) ]

SV=500*[(1+0,135)^2*(1+0,15)^2*(1+0,2)^1 ]=1022,207 тыс.руб.

Ответ : Будущая стоимость облигации = 1022,207 тыс.руб.

Задача 72

Сумма в 5 млн. р. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12% годовых.

Решение:

P= S/(1+i)^n =5/(1+0,12)^5 =2,837134 млн. руб.

Ответ : 2,837134 млн. руб.

Задача 102

На какую годовую ставку процентов нужно заменить номинальную ставку годовых сложных процентов =12%, если начислять сложные проценты ежеквартально по 3 %?

Решение :

j=(1+i/m)^m-1=(1+0,12/4)^4-1=0,1255 или 12,55%.

Ответ : 0,1255 или 12,55%.

Задача 37

По сертификату, погашаемому выплатой в 250 тыс. р. через три года, проценты начисляются раз в полугодие. Определите цену продажи, если номинальная ставка 38%.

Решение :

P= S/(1+j/m)^nm =(250 000)/(1+0,38/2)^(2*3) =8 8036 руб.

Ответ : Цена продажи = 8 8036 руб.

---

не сложно

Важно! Все представленные Рефераты для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.

---

Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.

---

Если Реферат, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, об этом нам.

---