Важное место в экономических исследованиях занимает графический метод. Графики представляют собой изобразительное средство наглядной иллюстрации функциональной зависимости и связей между различными экономическими факторами. Причем одни из нх выступают как независимые, а другие — как зависимые переменные.
Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного обобщения. Графические методы анализа являются самой эффективной формой представления данных с точки зрения их восприятия. Графики позволяют мгновенно охарактеризовать и осмыслить совокупность показателей: выявить наиболее типичные соотношения и связи этих показателей, определить тенденции развития, характеризовать структуру и степень выполнения плана, оценить и графическом изображении размещение объектов. Широкое применение графиков для пропаганды статистической информации необходимо для характеристики результатов развития различных сфер национальной экономики и социальных отношений.
Графические изображения статистических данных прочно вошли в обиход современных средств оформления научных работ как орудие статистического анализа и наглядного обобщения результатов статистических исследований. В управлении графики представляют собой масштабные или структурные изображения связей, показателей и соотношений, они имеют большое иллюстративное значение. Графики позволяет увидеть тенденции изменений явлений во времени и пространстве, дают возможность на основе абстрактного мышления предопределить вид и (или) ход происходящего.
Благодаря использованию графиков изучаемые материалы становятся более понятными с позиций происходящего, что предполагает принятие более обоснованного и объективно выраженного решения на перспективу. Так, графический иллюстративный материал необходим при аналитическом использовании и при защите проектов решений перед комиссиями, руководством.
Целью моей работы является: закрепление понятия векторного пространства, выявление методов линейного программирования, расширение знаний в области применения графического метода в решении экономических задач.
Методы исследования: классификации, описания и моделирование.
Исследования: на примере определенных экономических задач я рассмотрю порядок их решения графическим способом и дам оценку данного метода.
Расчет технико-экономических показателей работы предприятия
... его финансового состояния с целью оценки платёжеспособности предприятия, эффективности и доходности его деятельности, перспектив дальнейшего развития. Цель курсовой работы – произвести расчет экономических показателей предприятия. Задачи курсовой работы: произвести расчёт и оценку производственной программы ...
Значимость: данный метод дает возможность наглядно представить структуру экономических задач, выявить их особенности и открывает пути исследования более сложных свойств.
графический линейный программирование метод
1. Теоретическая часть
1.1 Графические методы анализа
Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного обобщения.
График — это чертеж, на котором статистические совокупности, характеризуемые определенными показателями, описываются с помощью геометрических знаков (линий, прямоугольников, треугольников и кругов) или условно-художественных фигур с расшифровкой принятых обозначений.
При построении графического изображения следует соблюдать ряд требований. Прежде всего, график должен быть достаточно наглядным, так как весь смысл графического изображения как метода анализа в том и состоит, чтобы наглядно изобразить статистические показатели. Кроме того, график должен быть выразительным, доходчивым и понятным. Основными формами графиков являются диаграммы.
Диаграммы принято подразделять по их форме на следующие виды:
- Столбиковые; (Приложение А)
- Полосовые; (Приложение Б)
- Линейные; (Приложение В)
- Круговые и другие. (Приложение Г)
По содержанию различают диаграммы: сравнения, структурные динамические графики, связи, графики контроля и т.д. Каждая из перечисленных видов (форм) диаграмм может отражать явление в статике (на указанную дату) и в динамике (за ряд временных точек).
В экономическом анализе применяются почти все виды графиков: диаграммы сравнения, диаграммы временных рядов, кривые распределения, графики корреляционного поля, статистические картограммы. Особенно широко распространены в анализе диаграммы сравнения — для сравнения отчетных показателей с плановыми, предшетвующих периодов и передовых предприятий отечественных или зарубежных. Для наглядного изображения динамики экономических явлений (а в анализе с динамическими рядами приходится иметь дело очень часто) используются диаграммы временных рядов.
С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня издержек от объема произведенной и реализованной продукции, а также графики, на которых можно изображать и корреляционные связи между показателями. В системе осей координат изображение показывает влияние различных факторов на тот или иной показатель.
Широко применяется графический метод для исследования производственных процессов, организационных структур, процессов программирования и т. д. Например, для анализа эффективности использования производственного оборудования строятся расчетные графики, в том числе графики множественных факторов.
В математически формализованной системе анализа, планирования и управления особое место занимают сетевые графики. Они дают большой экономический эффект при строительстве и монтаже промышленных и других предприятий.
Сетевой график позволяет выделить из всего комплекса работ наиболее важные, лежащие на критическом пути, и сосредоточить на них основные ресурсы строительно-монтажных организаций, устанавливать взаимосвязь между различными специализированными организациями и координировать их работу. Работы, лежащие на критическом пути, требуют наиболее продолжительного ожидания поступления очередного события. На стадии оперативного анализа и управления сетевой график дает возможность осуществлять действенный контроль над ходом строительства, своевременно принимать меры по устранению возможных задержек в работе.
Организация работ производственного предприятия дорожного строительства
... суммарную работу транспорта. Исходя из этого, можно сделать вывод, что строительство АБЗ ... именно в этом месте будет наиболее целесообразно с экономической точки зрения, также АБЗ будет обеспечен электроэнергией и подъездными путями. 8. Проектирование технологии работы ... технологических показателей, проектировании технологического процесса работы предприятия, выборе и назначении ...
Применение сетевых графиков анализа, планирования и управления обеспечивает, как показывают многие примеры, сокращение сроков строительства на 20—30%, повышение производительности труда на 15—20%.
При анализе, осуществляемом непосредственно на стройках, использование материалов сетевого планирования и управления способствует правильному определению причин, влияющих на ход строительства, и выявлению предприятий, не обеспечивающих выполнение порученных им работ или поставку оборудования в сроки, установленные графиком.
Разработка сетевого графика в строительстве осуществляется при наличии: норм продолжительности строительства и срока ввода в действие объекта или комплекса объектов, проектно-сметной документации, проекта организации строительства и производства работ, типовых технологических карт, действующих норм затрат, труда, материалов и работы машин. Кроме того, при составлении графика используются опыт выполнения отдельных работ, а также данные о производственной базе строительных и монтажных организаций.
На основе всех этих данных составляется таблица работ и ресурсов, где в технологической последовательности производства работ указываются их характеристика, объем, трудоемкость в человеко-днях, исполнитель (организация и бригада), численность рабочих, сменность, потребность в механизмах и материалах, источники их поступления, общая, продолжительность выполнения работы в днях, а также предшествующее задание. После окончания, которого можно начинать данную работу. Исходя из показателей такой таблицы, подготавливают сетевой график, который может иметь различную степень детализации в зависимости от принятой схемы производства работ и уровня руководства; кроме общего графика исполнители разрабатывают график, выполняемых ими работ.
Основные элементы сетевого графика: событие, работа, ожидание, зависимость.
При анализе хода строительства объекта следует устанавливать, правильно ли составлен сетевой график, не допущено ли при этом завышение критического пути, учтены ли при оптимизации графика все возможности его сокращения, нельзя ли какие-либо работы выполнять параллельно или сократить время, затрачиваемое на них, путем увеличения средств механизации и другое. Это особенно важно в тех случаях, когда продолжительность работ по графику не обеспечивает окончание строительства в срок.
Основным материалом сетевого планирования, используемого при анализе, является информация о ходе работ графика, который обычно составляется не реже одного раза в декаду.
Оптимизация сетевых графиков осуществляется на стадии планирования посредством сокращения критического пути, т. е. минимизации сроков выполнения строительных работ при заданных уровнях ресурсов, минимизации уровня потребления материальных, трудовых и финансовых ресурсов при фиксированных сроках выполнения строительных работ. Возможен и смешанный подход: для одной части работ (более дорогостоящих) — минимизировать уровень потребления ресурсов при фиксированных сроках выполнения работ, для другой — минимизировать сроки при фиксированном уровне ресурсов.
Этот метод может найти у нас применение при определении порядка обработки тех или иных деталей на нескольких станках в целях минимизации общего времени обработки; при установлении размеров ресурсов для минимизации общих производственных издержек; при распределении капиталовложений и других ресурсов по промышленным объектам; при решении транспортных и других задач.
1.2 Задача линейного программирования и этапы ее решения графическим методом
Решением экстремальных задач, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств, занимается такая математическая дисциплина, как линейное программирование. Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов в экономике. Это, например: задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании, задача о смесях (планирование состава продукции), задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или «задача о рюкзаке»), транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).
2. Практическая часть
2.1 Пример решения задачи линейного программирования графическим методом
Найдем наибольшее значение линейной функции графическим методом.
|
L = |
x 1 |
— x 2 |
|
при следующих ограничениях
|
x 1 |
+ x 2 |
? |
3 |
||
|
x 1 |
+ x 2 |
? |
7 |
||
|
x 2 |
? |
2 |
|||
|
x 2 |
? |
5 |
|||
|
x 1 |
? |
4 |
|||
Решение:
В первую очередь, найдем область допустимых значений, т.е. точки x 1 и x2 , которые удовлетворяют системе ограничений.
По условию задачи x 1 ? 0, x2 ? 0,т.е. мы рассматриваем только те точки, которые принадлежат первой четверти.
Шаг 1
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.
|
x 1 |
+ x 2 |
? |
3 |
|
Построим прямую.
Заменим знак неравенства, на знак равенства.
|
x 1 |
+ x 2 |
= |
3 |
|
Преобразуем уравнение следующим образом.
Каждый член уравнения разделим на 3.
|
x 1 |
+ |
x 2 |
= 1 |
|
|
3 |
3 |
|||
Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
На оси X 1 рисуем точку с координатой 3.
На оси X 2 рисуем точку с координатой 3.
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.
Какие точки нас интересуют?
|
x 1 |
+ x 2 |
? |
3 |
|
|
x 2 |
? |
— x 1 |
+ 3 |
|
Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.
Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный ниже. (рис.1)
Область допустимых значений выделена штриховкой.
Точки, принадлежащие области допустимых значений:
A (3, 0)
B (0, 3)
рис. 1
Шаг 2
Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
|
x 1 |
+ x 2 |
? |
7 |
|
? Построим прямую.
Заменим знак неравенства, на знак равенства.
|
x 1 |
+ x 2 |
= |
7 |
|
Преобразуем уравнение следующим образом.
|
x 1 |
+ |
x 2 |
= 7 |
|
|
1 |
1 |
|||
Каждый член уравнения разделим на 7.
|
x 1 |
+ |
x 2 |
= 1 |
|
|
7 |
7 |
|||
Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую.
На оси X 1 рисуем точку с координатой 7.
На оси X 2 рисуем точку с координатой 7.
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.
? Какие точки нас интересуют?
|
x 1 |
+ x 2 |
? |
7 |
|
|
x 2 |
? |
— x 1 |
+ 7 |
|
Знак неравенства меньше или равно нулю, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.
? Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный ниже.(рис.2)
Область допустимых значений выделена штриховкой.
Точки, принадлежащие области допустимых значений:
A (3, 0)
C (7, 0)
B (0, 3)
D (0, 7)
рис. 2
Шаг 3
Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
|
x 2 |
? |
2 |
||
Построим прямую.
Заменим знак неравенства на знак равенства.
|
x 2 |
= |
2 |
||
Прямая проходит параллельно оси X 1 .
Какие точки нас интересуют?
|
x 2 |
? |
2 |
||
Знак неравенства больше или равно нулю, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.
Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный ниже. (рис.3)
Область допустимых значений выделена штриховкой.
Точки, принадлежащие области допустимых значений:
B (0, 3)
D (0, 7)
E (1, 2)
F (5, 2)
рис. 3
Шаг 4
Рассмотрим неравенство 4 системы ограничений.
|
x 2 |
? |
5 |
||
? Построим прямую.
Заменим знак неравенства на знак равенства.
|
x 2 |
= |
5 |
||
Прямая проходит параллельно оси X 1 .
? Какие точки нас интересуют?
|
x 2 |
? |
5 |
||
Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.
? Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный ниже. (рис.4)
Область допустимых значений выделена штриховкой.
Точки, принадлежащие области допустимых значений:
B (0, 3)
G (0, 5)
E (1, 2)
F (5, 2)
H (2, 5)
рис. 4
Шаг 5
Рассмотрим неравенство 5 системы ограничений.
|
x 1 |
? |
4 |
||
? Построим прямую.
Заменим знак неравенства, на знак равенства.
|
x 1 |
= |
4 |
||
Прямая проходит параллельно оси X 2 .
? Какие точки нас интересуют?
|
x 1 |
? |
4 |
||
Знак неравенства меньше или равно нулю, следовательно, нас интересуют точки лежащие левее построенной нами прямой.
? Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями, получим рисунок, приведенный ниже. (рис.5)
Область допустимых значений выделена штриховкой.
Точки, принадлежащие области допустимых значений:
B (0, 3)
G (0, 5)
E (1, 2)
H (2, 5)
M (4, 3)
N (4, 2)
рис. 5
Шаг 6
Вернемся к нашей исходной функции L.
|
L = |
x 1 |
— x 2 |
|
Допустим значение функции L равно 1 (абсолютно произвольно выбранное число), тогда
|
1 = |
x 1 |
— x 2 |
|
Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Из курса аналитической геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору, координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору
|
= (1,-1).
|
|||
Следовательно, с геометрической точки зрения, наша исходная функция L изображается как множество прямых перпендикулярных вектору
|
= (1,-1).
|
|||
|
ON |
|||
|
Построим вектор |
= (1, -1) |
||
|
ON |
|||
исключительно для большей наглядности.
Причем очевидно, что значение функции будет возрастать, при перемещении прямой в направлении вектора
Диапазон перемещения прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении от точки O к точке N.
Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору ON до тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений.
В нашем случае, касание прямой, перед выходом из области допустимых решений, произойдет в точке N (4, 2).
В данной точке значение функции будет наибольшим.
рис. 6
Ответ:
Наибольшее значение функция достигает при x 1 =4 x2 = 2.
Значение функции: L = 2
2.2 Решение задач
Задача 1.
о планировании выпуска продукции пошивочному предприятию.
(Задача о костюмах).
Условие
Намечается выпуск двух видов костюмов — мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм — 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского — 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.
Составим
Введем следующие обозначения: х 1 — число женских костюмов; x2 — число мужских костюмов.
Прибыль от реализации женских костюмов составляет 10х 1 , а от реализации мужских 20х2 , т.е. необходимо максимизировать целевую функцию:
f(x) = 10 х
Ограничения задачи имеют вид:
х 1 + х 2 150
2 х 1 + 0,5 х 2 240
х 1 + 3,5 х 2 350
х 2 60
х 1 0
Первое ограничение по труду х 1 + х 2 150. Прямая х 1 + х 2 = 150 проходит через точки (150, 0) и (0, 150).
Рис. 1 Решением первого неравенства является нижняя полуплоскость
Второе ограничение по лавсану 2 х 1 + 0,5 х 2 240.
Прямая 2 х 1 + 0,5 х 2 = 240 проходит через точки (120, 0) и (0, 480).
Третье ограничение по шерсти х 1 + 3,5 х 2 350. Добавим четвертое ограничение по количеству мужских костюмов х2 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х2 = 60. На рис.3. заштрихована область допустимых решений.
Рис. 2 Заштрихована область допустимых решений.
Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.
= (10;20).
Что бы построить этот вектор, нужно соединить точку (10;20) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору . Так, на рис. 2. изображен вектор градиент (30;60).
В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять до ее выхода из области допустимых решений. в крайней, угловой точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума:
х 1 + 3,5х 2 = 350
х 1 + х 2 = 150
max f(x) = 2300
Рис. 3 Максимум целевой функции достигается в точке (70, 80)
Задача 2.
Условие
Для изготовления двух видов продукции А 1 и А 2 используют три вида ресурсов S 1 , S 2 , S 3 , нормы расхода ресурсов на 1 ед. продукции, а также прибыль от реализации приведены в таблице:
|
Виды ресурсов |
Запасы ресурсов |
Расходы ресурсов на 1 изд. |
||
|
А 1 |
А 2 |
|||
|
S 1 |
?? |
? |
? |
|
|
S 2 |
?? |
? |
? |
|
|
S 3 |
? |
? |
? |
|
|
Прибыль |
? руб. |
? руб. |
||
Необходимо составить такой план производства продукции, который обеспечит наибольшую прибыль от ее реализации.
Составим
Пусть надо выпустить изделий A 1 — x 1 шт., а изделий А 2 — x 2 шт. Тогда прибыль F = 2x 1 + 3x 2 ??max
Заключение
В ходе работы над курсовым проектом были рассмотрены задачи линейного программирования о планировании выпуска продукции пошивочному предприятию и об изготовлении продукции (А1, А2).
Для решения задач использовался графический метод.
В любом из современных курсов экономики в той или иной степени используется математический аппарат: анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка статистических данных и т.д. В эпоху рыночных отношений роль математических методов многократно возросла. Так как главная проблема экономики — проблема рационального выбора, то чтобы его сделать становится необходимым произвести математический расчет или построить математическую модель. В большом числе случаев первой степенью приближения к реальности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, предполагаются линейными.
Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задачу линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах размерностью больше трех графическое решение практически невозможно. Таким образом, данный метод решения задачи линейного программирования имеет очень узкие рамки применения. Однако, метод представляет большой интерес с точки зрения выработки наглядных представлений о сущности задач линейного программирования.
Я считаю, что этот метод все — таки удобен для применения в решении экономических задач, так как с помощью графика вся информация выглядит более наглядно и понятно. Для меня лично этот метод тоже очень подходит, он прост и удобен, и при рассмотрении его каких- либо сложностей у меня не возникло.
Список литературы
1. Окулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах / И.Л. Окулич. Минск: «Высшая школа», 1986. 319 с.
2. Александров, П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П.С. Александров. Москва: «Наука»,1979. 512 с.
3. Апатенок, Р.Ф. Элементы линейной алгебры / Р.Ф. Апатенок. Минск: «Высшая школа», 1977. 256 с.
4. Булдырев, В.С. Линейная алгебра и функции многих переменных / В.С. Булдырев, Б.С. Павлов. Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1985. 496 с.
5. Бутузов, В.Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 248 с.
6. Головина, Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л.И. Головина. Москва: «Наука»,1975. 408 с.
7. Замков, О.О. Математические методы в экономике / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. Москва: «Дело и Сервис», 2001. 368 с.
8. Конюх, А.В. Высшая математика: практикум: в 2 ч. / А.В. Конюх, О.Н. Поддубная, С.В. Майоровская. Минск: БГЭУ, 2008. Ч. 1. 253с.
9. Конюховский, П.В. Математические методы исследования операций в экономике / П.В. Конюховский. Санкт-Петербург: «Питер», 2000. 207 с.
10. Кузнецов, А.В. Высшая математика. Математическое программирование / А.В. Кузнецов, А.В. Сакович, Н.И. Холод. Минск: «Высшая школа», 1994. 286 с.
12. Малугин, В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций / В.А. Малугин. Москва: «Эксмо», 2006. 224 с.
13. Солодовников, А.С. Системы линейных неравенств / А.С. Солодовников. Москва: «Наука», 1977. 112 с.
14. Солодовников, А.С. Математика в экономике / А.С. Солодовников, А.В. Бабайцев, А.В. Браилов. Москва: «Финансы и статистика», 2000. 224 с.
15. http://www.mathelp.spb.ru/applet/GraphicLP.htm.
16. http://www.matburo.ru/ex_mp.php?p1=mpgr.
17. http://www.pavlov-iv.ru/page155/page167/index.html .
Приложение А
Столбиковая диаграмма
Приложение Б
Полосовая диаграмма
Приложение В
Линейная диаграмма
Приложение Г
Круговая диаграмма
