Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вбирает в себя большое количество математических методов. Исходя из этого преподавание математики студентам экономических специальностей должно опираться не только на накопление математических знаний, но и на усиление прикладной экономической направленности.
При изучении линейной алгебры у студентов не должно формироваться ощущение оторванности этой темы от экономики. Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно актуальным этот вопрос стал при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.
1 ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.
Линейная алгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно.
Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных и экономических науках.
Направление линейной алгебры используется также для того, чтобы описать специфическую часть алгебры. В частности, линейная алгебра имеет свою структуру с наличием определенных аксиом квадратного суммирования и умножения, которые рассматриваются согласно, так называемому, распределительному закону. В рамках линейной алгебры происходит более детальное исследование структуры.
Линейная алгебра также допускает осуществление внешних операций функции умножения с помощью скалярных значений. Примером может быть система всех линейных преобразований, начиная с векторного пространства и заканчивая самим широким понятием линейной алгебры.
2 МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС В ЭКОНОМИКЕ (МОБ).
2.1 Понятие межотраслевого баланса.
Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») — экономико-математическая балан совая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.
Межотраслевой баланс
... межотраслевой баланс. Он представляет собой таблицу, характеризующую связи между различными отраслями экономики страны. Общая структура межотраслевого баланса представлена в таблице 3.1 Таблица 3.1 — Общая структура межотраслевого баланса Производственная сфера экономики представлена в балансе ...
Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.
В Модели МОБ выделяются четыре квадранта. В первом отражается промежуточное потребление и система производственных связей, во втором — структура конечного использования ВВП, в третьем — стоимостная структура ВВП, а в четвёртом — перераспределение национального дохода.
2.2 История.
Теоретические основы межотраслевого баланса были разработаны в СССР в 1923—1924 гг., когда В.В. Леонтьев сделал попытку представить в цифрах анализ баланса народного хозяйства СССР. Ученый показал, что коэффициенты, выражающие связи между отраслями экономики, достаточно стабильны и их можно прогнозировать [1] .
В 1930-е годы Василий Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры для исследования экономики США. Метод стал известен под названием «затраты — выпуск».
В 1970—1980-х годах в СССР на основе данных межотраслевых балансов разрабатывались более сложные межотраслевые модели и модельные комплексы, которые использовались в прогнозных расчетах и частично входили в технологию народнохозяйственного планирования. По ряду направлений советские межотраслевые исследования занимали достойное место в мировой науке.
2.3 Пример расчета межотраслевого баланса.
Рассмотрим 2 отрасли промышленности: производство угля и стали. Уголь требуется для производства стали, а некоторое количество стали — в виде инструментов — нужно для добычи угля. Предположим, что условия таковы: для производства 1 т стали нужно 3 т угля, а для 1 т угля — 0,1 т стали.
| Уголь | 1 | 3 |
| Сталь | 0.1 | 1 |
Мы хотим, чтобы чистый выпуск угольной промышленности был (200 000) тонн угля, а чёрной металлургии — (50 000) тонн стали. Если каждая из них будет производить лишь и тонн, то часть продукции будет использоваться в другой отрасли.
Для производства тонн стали требуется (150 000) тонн угля, а для производства тонн угля нужно (20 000) тонн стали.
Чистый выход будет равен: (50 000) тонн угля и (30 000) тонн стали.
Нужно дополнительно производить уголь и сталь, чтобы использовать их в другой отрасли. Обозначим — количество угля, — количество стали. Валовый выпуск каждой продукции найдем из системы уравнений:
Решение: 500 000 т угля и 100 000 т стали. Для систематического решения задач расчета межотраслевого баланса находят, сколько угля и стали требуется для выпуска 1 т каждого продукта.
и . Чтобы найти, сколько угля и стали нужно для чистого выпуска т угля, нужно умножить эти цифры на . Получим: .
Аналогично составляем уравнения для получения количества угля и стали для выпуска 1 т стали:
- и . Для чистого выпуска т стали нужно: (214286; 71429).
Валовый выпуск для производства тонн угля и тонн стали: .
3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ.
К системам линейных уравнений приводит множество экономических задач.
Задача.
Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S 1 , S2 , S3 . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:
Виды сырья
| Нормы расхода сырья на одну пару, усл. ед. | Расход сырья на 1 день, усл. ед. | |||
| Сапоги | Кроссовки | Ботинки | ||
| S 1 | 5 | 3 | 4 | 2700 |
| S 2 | 2 | 1 | 1 | 900 |
| S 3 | 3 | 2 | 2 | 1600 |
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.
Решение 1.
Пусть ежедневно фабрика выпускает x 1 пар сапог, x2 пар кроссовок, x3 пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:
5x 1
2
3
| 2x 1 | + | x 2 | + | x 3 | = | 900 | , |
| 3x 1 | + | 2x 2 | + | 2x 3 | = | 1600 | . |
Решим систему по теореме Крамера.
| | | A | | | = | | | 2 | 1 | 1 |
| | | 3 | 2 | 2 |
= 5 x 1 x 2 + 3 x 1 x 3 + 2 x 2 x 4 – 3 x 1 x 4 – 2 x 3 x 2 – 2 x 1 x 5 = 1,
Т.е. система имеет единственное решение:
| | | A 1 | | | = | | | 900 | 1 | 1 |
| | | 1600 | 2 | 2 |
= 2700 x 1 x 2 + 3 x 1 x 1600 + 900 x 2 x 4 – 1600 x 1 x 4 – 900 x 3 x 2 – 2 x 1 x 2700 = 200,
x 1 = | A1 | / | A | = 200 / 1 = 200.
| | | A 2 | | | = | | | 2 | 900 | 1 |
| | | 3 | 1600 | 2 |
= 5 x 900 x 2 + 2700 x 1 x 3 + 2 x 1600 x 4 – 3 x 900 x 4 – 2 x 2700 x 2 – 1600 x 1 x 5 = 300,
x 2 = | A2 | / | A | = 300 / 1 = 300.
| | | A 3 | | | = | | | 2 | 1 | 900 |
| | | 3 | 2 | 1600 |
= 5 x 1 x 1600 + 3 x 900 x 3 + 2 x 2 x 2700 – 3 x 1 x 2700 – 2 x 3 x 1600 – 2 x 900 x 5 = 200,
x 3 = | A3 | / | A | = 200 / 1 = 200.
Т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.
Ответ: (200, 300, 200)
4. ЛИНЕЙНАЯ МОЖЕЛЬ ОБМЕНА (МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ).
4.1 Объяснение модели.
В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).
Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые обозначим соответственно , расходуются на покупку товаров.
Пусть доля бюджета , которую j–я страна тратит на закупку товаров у -й страны. Введём матрицу коэффициентов :
- (1)
Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне её (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство
(2)
Матрица (1) со свойством (2), в силу которого сумма элементов её любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой . (3)
Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны её бюджет должен быть не больше выручки от торговли, а в силу условия (2) или
(4)
Таким образом, условия (4) принимают вид равенств:
- (5)
Введём вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:
- (6)
Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечает её собственному значению , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.
Перепишем уравнение (6) в виде, позволяющем определить :
- (7)
4.2 Примеры задач и их решение.
Дана структурная матрица торговли трёх стран
Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие бездефицитной торговле, при условии, что сумма бюджетов равна
Решение: Легко видеть, что элементы матрицы А удовлетворяют условиям структурной матрице торговли. Следовательно, существует собственный вектор, соответствующий собственному значению 1.
Из уравнения получим
или
Решим систему методом Гаусса
Получим систему
Откуда .
Учитывая, что сумма , определим величину :
Поэтому .
Таким образом, искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле соответственно равны: .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В заключение хотелось бы сказать, что в данной работе была рассмотрена лишь небольшая часть математических методов, используемых в экономике.
Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
1.Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
2.Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.-М.:Наука 1969, 528с.
Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.-СПб.: Лань 2005, 304с.
4.Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с.
5.Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука 1973, 280с.
6.Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-М.:Наука 1966, 384с.
7.Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.-М.:Мир 1980, 454с.
8.Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- 356с.
9.Халмош П. Конечномерные векторные пространства.-М.:Физматгиз 1963, 264с.
и т.д……………..
