Введение
Как показывает практика, современному экономисту необходима основательная математическая подготовка. В число наиболее важных математических дисциплин для экономиста входит линейная алгебра. Это обусловлено тем, что экономико-математические модели, которые широко применяются сейчас в исследовательской и плановой работе, часто предназначены для описания взаимосвязи экономических структур, их динамики во времени, зависимости от ряда факторов.
1. Матрицы
Одним из наиболее компактных, удобных в применении способов является матричное отображение, что позволяет формализовать поставленную проблему. Благодаря простоте формы и богатому экономическому содержанию матричные методы находят широкое применение в экономической практике: статистические расчёты, организация нормативного хозяйства, сокращение документооборота, организация внутрипроизводственного хозрасчёта и для экономического анализа. Матричные методы можно также использовать для моделирования экономики отраслей народного хозяйства, экономики республик, народного хозяйства страны. Матрицы данного типа носят название межотраслевого баланса и находят широкое применение в планировании и статистике.
2. Векторы
Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Векторы применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия, а также экономика. На практике они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.
1. Матрицы
Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.
Нам известны основные операции над матрицами: равенство матриц; транспонирование; сложение; умножение матрицы на число; умножение матрицы на матрицу.
Матрицы впервые появились в середине ХVIII столетия в работах английских математиков А. Кэли и У.Р. Гамильтона. А уже общественный вклад в разработку общей теории матриц внесли русские математики А.Н. Крылов, Лапло-Данилевский.
Особенности бюджетного финансирования жилищно-коммунального хозяйства
... района. Целью дипломной работы является изучение основны теоретических аспектов бюджетного финансирования жилищно-коммунального хозяйства, рассмотрение основных направлений совершенствования в современных условиях хозяйствования жилищно ... материального производства и воспроизводства рабочей силы. Являясь важной частью народного хозяйства страны, эта отрасль требует выделения на свое содержание и ...
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное — компактной матричной форме.
С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):
|
Ресурсы |
Отрасли экономики |
||
|
Промышленность |
Сельское хозяйство |
||
|
Электроэнергия |
5,3 |
4,1 |
|
|
Трудовые ресурсы |
2,8 |
2,1 |
|
|
Водные ресурсы |
4,8 |
5,1 |
|
Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:
В данной записи, например, матричный элемент а 11 = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент а22 = 2,1 — сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.
Рассмотрим следующую задачу: пусть предприятие выпускает продукцию трех видов: P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей:
- где каждый элемент аij (i = 1,2,3;
- j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой С = (100 80 130), стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) — матрицей столбцом:
Рассмотрев задачу, получили: затраты 1-го сырья составляют S1 = 2·100 + 5·80 + 1·130 = 730 ед. и 2-го — S2 = 3·100 + 2·80 + 4·130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение:
Тогда общая стоимость сырья Q = 730·30 + 980·50 = 70900 ден. ед. может быть записана в матричном виде:Q = S·B = (CA)B = (70900).
Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу:
а затем общую стоимость сырья:
Использование матриц в экономике обусловливает широкое применение векторов и их основных свойств. Векторы играют большую роль в разнообразных экономических расчетах и, как правило, используются наряду с матрицами. Векторы являются основным инструментом при решении задач, аналогичных задачам с применением матриц.
Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие вектора и его свойства.
Пример 1.
Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в табл. 16.1.
Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продуции предприятия.
Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:
= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,
= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,
= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,
= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.
Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента На три других вектора, т. е.
Пример 2.
Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А :
Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.
Решение. Составим вектор-план выпуска продукции
Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А :
Пример 3.
Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов продукции характеризуются матрицей А , приведенной в предыдущей задаче. Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектора-плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каждого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).
Решение. Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):
Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произведения матрицы А на транспонированную матрицу CT:
Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных единицах) при векторе-плане выпуска продукции = (60, 50, 35, 40) определяются произведением вектора на матрицу АСT :
Пример 4.
В табл. 16.2 приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с потреблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.
Требуется определить:
1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;
2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;
3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.
Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними получить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:
матрица вектор экономика
Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность J- го предприятия по каждому виду продукции получается умножением J- гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (J = 1, 2, 3, 4, 5).
Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей
Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид:
Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А :
Где I -я строка соответствует номеру типа сырья, а J- Й столбец — номеру предприятия согласно табл. 16.2 (I = 1, 2, 3; J = 1, 2, 3, 4, 5).
Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей А Год умножением столбцов матрицы ВА На соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:
Введем вектор стоимости сырья
Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матрицу ВA г од :
Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора .
Заключение
Исходя из приведенных примеров, можно сделать вывод, что в экономической деятельности активно используется метод анализа. Такой метод применяется с целью анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений. Следовательно, матричный метод в экономике (как и векторный) — это метод научного исследования свойств объектов на основе использования правил теории матриц и векторов, по которым определяется значение элементов модели, отражающих взаимосвязи экономических объектов. Используется в тех случаях, когда главным объектом исследования являются балансовые соотношения затрат и результатов производственно — хозяйственной деятельности и нормативы затрат и выпусков.
Простота использования этих элементов линейной алгебры как в науке, так и на практике играет важную роль в решении экономических задач. Данные методы сокращают работу человека, и это очень важно для решения задач с большим количеством критериев и альтернатив. Применяя векторы и матрицы, экономист получает готовый и обоснованный ответ в виде рейтинга альтернатив по всем критериям, а также ему предлагается самому оценить альтернативы и проверить соответствующие готовые решения исходя из самостоятельного анализа глобальной матрицы альтернатив по всем критериям.
