2.2 Формирование портфеля ценных бумаг с помощью модели Шарпа
В качестве базовой модели рассмотрим индексную модель Шарпа, так как она является упрощенной и доработанной модели Марковица, а в качестве ведущего фактора будем рассматривать индекс РТС. Зависимость доходности ценной бумаги от индекса описывается формулой:
х
где r i – доходность ценной бумаги i вида;
r I – “доходность” индекса РТС;
a iI – коэффициент смещения;
b iI – коэффициент наклона;
e iI – случайная погрешность.
В качестве исходных данных приняты котировки акций на ММВБ за период с 01 мая 2009 по 15 марта 2010г. За шаг расчетов было принято полмесяца или 15 дней. Результаты сведены в таблицу 4.
Таблица 4 – Таблица коэффициентов
| Акции | β | α | σ ε | ε β | ε α | R 2 | Доходность | Риск |
| РТС | 0,82 | |||||||
| Газпром (GAZP) | 0,7987 | -0,4045 | 1,0515 | 0,1136 | 0,2477 | 0,7225 | 1,0258 | 1,95 |
| ЛУКОЙЛ (LKON) | 0,6136 | -0,266 | 1,3685 | 0,1478 | 0,3224 | 0,4757 | 1,3573 | 1,84 |
| Сбербанк (SBERP03) | 1,0616 | 1,1315 | 2,1682 | 0,2342 | 0,5108 | 0,5196 | 2,9506 | 3,05 |
| Норильский никель (GMKN) | 0,8486 | 0,089 | 1,0506 | 0,1135 | 0,2475 | 0,7465 | 1,1518 | 2,03 |
В результате произведенных расчетов, можно проанализировать полученные результаты. Коэффициент β свидетельствует о том, что все выбранные акции изменяются вслед за рынком. При росте доходности рынка в целом растут и доходности акций. Однако следует отметить, что акции «Сбербанка» склонны изменяться в большей степени, чем рынок. При росте рынка, доходность данных акций растет на большую величину, а при снижении – доходность акций снижается опережающими темпами.
Коэффициент α характеризует ожидаемый доход на акцию в момент достаточной стабильности цен на акции в целом, когда доход рынка равен нулю. В данном случае лидерами являются акции «Сбербанка» и «Норильский никель». Акции данных эмитентов недооценены рынком, а, следовательно, они будут корректироваться рынком увеличением рыночной цены. Переоцененными акциями являются акции «Газпрома» и «ЛУКОЙЛА», которые в свою очередь имеют тенденцию к снижению их рыночной стоимости.
По всем акциям наблюдается высокая доходность, что свидетельствует о периоде подъема рынка. Наиболее привлекательными являются акции «Сбербанка», их доходность равна 295% в год, однако и риск по данным ценным бумагам превышает акции других эмитентов. Наименее рискованными являются акции «ЛУКОЙЛА», однако и доходность по ним не столь мала 136% в год. В сложившейся ситуации на рынке в данный период наиболее прибыльны операции с предложенными ценными бумагами.
Коэффициентом детерминации, является квадратом коэффициента корреляции, и поэтому изменяется в пределах от 0 до 1. Расчет данного показателя свидетельствует о том, что акции «ЛУКОЙЛА» и «Сбербанка» имеют среднюю связь с рынком, а, следовательно, темпы роста данных ценных бумаг отстают от темпов роста рынка. Тесную связь с рынком имеют акции «Газпрома» и «Норильский никель», которые изменяются вслед за рынком.
В результате проведенного анализа, можно предложить следующую структуру инвестиционного портфеля в соответствии с их уровнем доходности: 50% акций «Сбербанка», 25% акции «ЛУКОЙЛА», 15% акции «Норильский никель» и 10% акции «Газпрома». Таким образом, доходность портфеля можно рассчитать, использую формула Марковица:
r y = 0,5*2,95 + 0,25*1,36 + 0,15*1,15 + 0,1*1,03 = 2,09
А риск портфеля соответственно рассчитывается
s p = 0,5*3,05 + 0,25*1,84 + 0,15*2,03 + 0,1*1,95 = 2,48%
В результате полученный портфель будет приносить повышенную доходность в размере 209% в год, а вложенные инвестиции будут иметь средний риск 2,48%.
2 3 Формирование портфеля ценных бумаг с помощью алгоритма, Элтона-Грубера-Падберга
Для проведения расчетов по алгоритму Элтона необходимо задать безрисковую доходность. С некоторыми допущениями доходность по облигациям можно назвать безрисковой. Поэтому в качестве такой доходности примем среднюю доходность по облигациям федерального займа (ОФЗ) и облигациям наиболее надежных эмитентов на Российском рынке ценных бумаг (11%).
Рассмотрим по порядку этапы составления портфеля Элтона и результаты расчетов сведем в таблицу 5.
1. Упорядочим ценные бумаги в порядке убывания отношения доходности к коэффициенту β (RVOLi ).
2. Наибольшее значение Трейнора было получено у привилегированных акций “Сбербанка”. Начиная с этой акции, будем добавлять ценные бумаги одну за другой и вычислять величину F i .
3.Сравнивая величины F i с соответствующими RVOLi до тех пор, пока F i меньше RVOLi , получим, что начиная с третей акции, это соотношение изменяется на противоположное. Первые две ценные бумаги будут иметь не нулевые веса в портфеле, а остальные – нулевые. Таким образом, F 2 является “ставкой отсечения” для отношения Трейнора.
4. После того как определено какие акции будут включены в портфель, необходимо определить в каких долях они будут представлены в этом портфеле. Для этого вычислим величины Zi , чтобы определить, с какими весами будут входить в портфель первые два ценные бумаги. Значения Zi для двух последних ценных бумаг полагаются равными нулю.
5. Разделив каждую Zi на сумму Zi , получим веса, с которыми акции будут входить в портфель. Это сделать необходимо, так как сумма Zi обычно не равна единиц. Полученные значения Xi и являются долями ценных бумаг в портфеле.
Таблица 5 – Алгоритм Элтона-Грубера-Падберга
Следуя алгоритму Элтона-Грубера-Падберга, получается, что для оптимального инвестиционного портфеля необязательно включать все предложенные акции. Таким образом, в портфель следует включить акции «Сбербанка» и «ЛУКОЙЛА», причем большая доля в портфеле приходится на акции «Сбербанка». Это обусловлено повышенной доходностью акций данного эмитента. Тем самым доходность портфеля получается выше, однако и рискованность такого портфеля также увеличивается.
Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается как взвешенное среднее математических ожиданий доходности входящих в него ценных бумаг, где в качестве весов взяты доли инвестиций, приходящихся на эти бумаги.
ry = 0,687*2,95 + 0,313*1,36 = 2,45
А риск портфеля соответственно рассчитывается
s
Таким образом, структура портфеля ценных бумаг, полученная благодаря алгоритму Элтона-Грубера-Падберга, принесет инвестору 245% в год, тогда как риск по данному портфелю будет равняться 2,67%. Ожидаемая доходность предложенного портфеля считается более чем достаточной. Однако такой портфель не является диверсифицированным, и во многом его доходность будет обусловлена ценами на нефть, так как 31,3% приходится на нефтяную компанию «ЛУКОЙЛ».
Бета-коэффициент портфеля представляет собой взвешенное среднее коэффициентов бета входящих в него ценных бумаг, где в качестве весов выступают доли инвестиции в эти бумаги.
β = 0,687*1,0616 + 0,313*0,6136 = 0,9215
Таким образом, совокупный бета-коэффициент полученного портфеля равен 0,92, что свидетельствует об изменении доходности портфеля вслед за рынком. Такое обстоятельство нельзя назвать однозначно положительным, так как при ухудшении ситуации на рынке, доходность портфеля резко сократится, либо станет отрицательной. Для снижения данного риска в портфель следует включать защитные ценные бумаги, т.е. ценные бумаги, доходность которых не зависит от доходности рынка в целом.
3 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОПТИМИЗАЦИИ ЦЕННЫХ БУМАГ
Для формирования оптимальной структуры инвестиционного портфеля, необходимо проанализировать результаты, полученные при применении моделей Марковица, Шарпа и Элтона. Для этого сведем полученные расчеты в таблицу 6.
Таблица 6 – Модели формирования портфеля ценных бумаг
Таким образом, наибольший эффект при формировании портфеля ценных бумаг можно получить, следуя алгоритму Элтона-Грубера-Падберга. Доходность данного портфеля составит 245% в год, и портфель будет разделен на акции двух эмитентов «Сбербанк» и «ЛУКОЙЛ», большая часть портфеля будет приходиться все-таки на акции «Сбербанка». К недостаткам алгоритма Элтона-Грубера-Падберга можно отнести то, что данный алгоритм не предполагает включение в портфель всех предложенных ценных бумаг. Хотя акции «Газпрома» и «Норильский никель» относятся к наиболее ликвидным, и их доходность достаточно велика, более 100% в год.
При формировании портфеля с помощью индексной модели Шарша доходность портфеля будет составлять 209% в год, однако и риск будет ниже, чем при алгоритме Элтона-Грубера-Падберга. Однако разница в риске не столь велика, так как данные акции относятся к достаточно надежным эмитентам. Так же наибольшая доля в портфеле приходится на акции «Сбербанка», которые занимают 50%.
Ровно столько же отводится акциям данного эмитента в портфеле, формируемом с помощью модели Марковица, однако далее удельный вес в размере 30% приходится на акции «Норильский никель». Доходность данного портфеля получилась ниже, чем в предыдущих моделях 129%. Однако это обусловлено тем, что доходность акций, рассчитанная при использовании модели Марковица, получилась ниже, чем в других моделях. Поэтому нельзя однозначно оценить данный портфель как неэффективный.
