Математический анализ в экономике

метки: Модель, Экономический, Фактор, Функция, Анализ, Влияние, Метод, Показатель

Ростовский государственный экономический, Университет (РИНХ), Реферат на тему:, Выполнил:

Студент гр. ЭК-418 Сдобин Кирилл Олегович

Ростов-на-Дону 2016

экономическими моделями

К экономическим моделям могут относится модели:

§ экономического роста

§ потребительского выбора

§ равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.

Модель — это логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса.

Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.

Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.

Экономико-математическая модель

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели, часто объединяемые в системы моделей.

Экономико-математическая модель

Основные типы моделей

§ Экстраполяционные модели

§ Факторные эконометрические модели

§ Оптимизационные модели

§ Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)

§ Экспертные оценки

§ Теория игр

§ Сетевые модели

§ Модели систем массового обслуживания

Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе

В настоящие время в анализе хозяйственной деятельности организаций все большее применение находят математические методы исследования. Это способствует совершенствованию экономического анализа, его углублению и повышению его действенности.

В результате использования математических методов достигается более полное изучение влияния отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций, уменьшение сроков осуществления анализа, повышается точность осуществления экономических расчетов, решаются многомерные аналитические задачи, которые не могут быть выполнены традиционными методами. В процессе использования экономико-математических методов в экономическом анализе осуществляется построение и изучение экономико-математических моделей, описывающих влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций.

Различают четыре основных вида экономико-математических моделей, используемых при анализе влияния отдельных факторов:

Применение методов экономико-математического моделирования

... математике, в части методов экономико-математической модели. Эта динамика продолжается по настоящий момент. Для того, чтобы рассмотреть экономика-математическое моделирование наиболее ... экономико-математических методов является важным направлением совершенствования методической базы экономического анализа. Применение тех или иных методов в практике аналитической работы определяется задачами анализа, ...

• § аддитивные модели;
• § мультипликативные модели;
• § кратные модели;
• § смешанные модели.

Аддитивные модели

Примером аддитивной модели является баланс товарной продукции.

Мультипликативные модели

Одним из примеров подобной модели может быть двухфакторная модель, выражающая зависимость между объемом выпуска продукции, количеством единиц используемого оборудования и выработкой продукции в расчете на одну единицу оборудования:

П = К В ,

§ П — объем выпуска продукции;

§ К — количество единиц оборудования;

§ В — выработка продукции на единицу оборудования.

Кратные модели

ОП = x/y

Здесь ОП представляет собой обобщающий экономический показатель, который находится под влиянием отдельных факторов x и y . Примером кратной модели может служить формула, выражающая зависимость между продолжительностью оборота оборотных активов в днях, средней величиной этих активов за данный период и однодневным объемом продаж:

П = ОА/ОП

§ П — продолжительность оборота;

§ ОА — средняя величина оборотных активов;

§ ОП — однодневный объем продаж.

смешанные модели

R _a = ЧП / ВА + ОА ,

В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:

многофакторные мультипликативные модели

Традиционные способы

Интегральный метод экономического анализа

Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.

В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода этот прирост делится поровну между всеми факторами.

Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г_{е .} Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов

Модели и методы государственного регулирования экономики

... с основными моделями, методами и инструментами государственного регулирования экономики; рассмотреть основные теоретические модели государственного регулирования; определить роль и экономические функции государства в экономике Республики Беларусь. определить эффективность модели государственного регулирования в Республике ...

d _y / d _x = const

При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.

Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:

Z=xy ;

ДZ(x) = y

Z(y)=x ₀ * Дy +1/2Дx * Дy

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:

Z=x /y;

ДZ(x) = Дx/Дy Ln y1/y0

ДZ(y)=ДZ — ДZ(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.

Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.

Метод логарифмирования

Кроме этого метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.

В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z.

Найдем влияние каждого из этих факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:

Дf _x = Дf _· lg(x ₁ / x ₀ ) / lg(f ₁ / f ₀ )

Обобщающие показатели экономического развития страны

... чистой продукции отраслей материального производства. Показатель ВОП являлся основным в советской экономической статистике и представлял собой ... СНС применяют, но намного реже, два других обобщающих показателя: чистый внутренний продукт и национальный доход. В ... амортизационных отчислений, идущих на финансирование капиталовложений. 5. Изменения в запасах материальных оборотных средств, которые, как ...

Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:

Дf _y = Дf _· lg(y ₁ / y ₀ ) / lg(f ₁ / f ₀ )

Наконец, для того, чтобы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:

Дf _z = Дf _· lg(z ₁ / z ₀ )/ lg(f ₁ / f ₀ )

Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.

При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

Метод дифференциального исчисления

При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по которой определена эта производная. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.

Задана функция Z = f(x,y).

Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Поясним отдельные элементы этой формулы:

ДZ = (Z ₁ — Z ₀ ) — величина изменения функции;

Дx = (x ₁ — x ₀ ) — величина изменения одного фактора;

Дy = (y ₁ — y ₀ ) -величина изменения другого фактора;

• бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:

ДZ _x = дZ / дx

• Дx; ДZ _y = дZ / дy

• Дy.

Сумма влияния обоих этих факторов — это главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

Способ долевого участия

В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.

Фактор времени в микроэкономическом анализе, время в поведении фирмы

... Фактор времени в микроэкономическом анализе, время в поведении фирмы» произведите оплату. Внимание!!! Работы могут не соответствовать требованиям к оформлению какого-либо конкретного учебного заведения. Для получения полноценной курсовой или реферата ... что фактор времени имеет большое значение не только для истории, но и для экономики. В настоящее время происходят значительные изменения в ...

Предположим, что мы определяем влияние трех факторов — а,b и с на обобщающий показатель y. Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:

Дy _a = Дa/Дa + Дb + Дc*Дy

Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:

Дy _b =Дb/Дa + Дb +Дc*Дy

Наконец, для фактора с имеем:

Дy _c =Дc/Дa +Дb +Дc*Дy

Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.

Теория игр

Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда относятся такие ситуации, которые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач в теории игр используются алгебраические методы, которые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, является так называемый анализ чувствительности. Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.

В целях оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации необходимо заранее предусматривать те изменения, которые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.

Например, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, которые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.

Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на этот показатель, изменится.

Так, например, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж. Остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, являются при этом неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на этот показатель.

Матричный метод

Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также матричные методы. Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.

Экстраполяционный анализ

Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Он включает в себя рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик этой системы на будущие периоды. В процессе осуществления этого вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров этих функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.

В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, которые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.

экономический математический модель интегральный

Применения производной в экономических расчетах

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Ф.Энгельс в своё время заметил, что «лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.

Использование производной при решении задач по экономической теории

Задача №1: Функция спроса имеет вид Q _D =100 — 20p , постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции — 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение:

П=TR — TC,

TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём цену единицы продукции:

20p=100 — Q p=5 — Q/20.

Тогда

П=(5 — Q/20)Q — (50 + 2Q)= — Q ² + 60Q — 1000 ? max

Найдём производную: П'(Q)= —2Q+60.

2Q+60=0 Q=30.

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Задача

Решение:

6p ₀ — 100=200 — 4p ₀ ,

откуда p ₀ = 30 (ден.ед.) — равновесная цена, ? Q ₀ =80 (ед.) — равновесный объём продукции.

Изобразим графически кривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия, находящуюся на их пересечении (см. рис. 2).

Рассмотрим три возможных варианта:

1) p>p ₀ , ? Q=Q _D , то есть П=Q _D p — Q _D TVC=Q _D (p — TVC) ,

подставим значения и получим:

П=(200 — 4p)*(p — 25)= —4p ² + 300p — 5000.

2) p=p ₀ , ? Q=Q _D =Q _S , ? Q _{продажи} =Q ₀ =80 (ед.), ?

П ₂ =80*(30 — 25)=400 (ден. ед.).

3) p<p ₀ : ? Q= Q _S , то есть П=Q _S p — Q _S TVC=Q _S (p — TVC) ,

подставим значения:

П=(6p — 100)(p — 25)=6p ² — 250p + 2500.

Далее случаи (1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены из интервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумы прибыли через производную:

1) П= — 4p ² + 300p — 5000

П’= — 8p + 300;

8p + 300=0

Значит, Q=Q _D =200 — 4*37,5=200 — 150=50 (ед.), а

625

400

3) П=6p ² — 250p + 2500

П’=12p — 250;

12p — 250=0 ? p=125/6=20 ⁵ / ₆ (ден. ед.).

Значит, Q=Q _S =6*20 ⁵ / ₆ — 100=125 — 100=25 (ед.), a

104

Можно заключить, что прибыль максимальна в первом случае, следовательно, цена единицы продукции должна равняться 37,5 денежным единицам.

Задача

Решение:

TR’=(p(b — ap))’=0.

TR’=p’*(b

? Q=b — ap=b — a=.

При этом максимум выручки составит

Задача

Решение:

П

Приравняем производную к нулю и найдём точку экстремума:

П

Является ли объём выпуска, равный четырём единицам продукции, оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.

При П и прибыль убывает.

При П и прибыль возрастает.

Как видим, при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом, этот объём производства не является оптимальным для фирмы.

П(q=8)=П(q=0)=10

Задача

Решение:

MC=TC’=3q

3q ² + 3=15;

3q ² =12 ? q=2.

Итак, мы выяснили, что при цене p=15 фирма предложит на продажу 2 единицы продукции.

Задача

Решение:

Тогда прибыль будет равна:

В точке q ₀ максимума прибыли выполняется равенство Отсюда оптимальный для монополиста объём производства равен q ₀ =10. Соответствующая цена будет:

p ₀ =p(q ₀ )=

При этом предельные издержки Таким образом, цена, наиболее выгодная для данной монополии, в полтора раза выше её предельных издержек.

Задача

Решение:

u'(t)=

Итак, производительность труда в момент времени через 2 часа после начала работы составит 43 единицы продукции в час.

Заключение

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

2. При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.

3. Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

4. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

5. Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).

6. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

Словарь экономических терминов

Производственные

Факторы

Спрос

Предложение

Монополия

Совершенная

Постоянные

Переменные

Благо

Товар

Услуги

Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой

V =.

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 — ln 7 — 8 = ln 10/7 + 4.

Пример. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V =.

Пример. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непрерывной функцией времени ? _t = f(t), тогда наращенная сумма находится как

S = P exр ? _t dt,

а современная величина платежа P = S exр(- ? _t dt).

Если, в чаcтности, ? _t является линейной функцией времени:

? _t = ? _o + at, где ? _o — величина силы роста для t = 0, a — годовой прирост, то

? _t dt = (? _o + at)dt = ? _o n + an² /2;

множитель наращения exр(? _o n + an² /2).

Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии ? _t = ? _o a^t , где ? _o — начальное значение процентной ставки, a — годовой коэффициент роста, тогда

? _t dt = ? _o a^t dt = ? _o a^t /lna = ? _o (aⁿ -1)/lna;

множитель наращения exр(? _o (aⁿ -1) / lna).

Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит exр(0,08 (1,2 ⁵ -1) / ln1,2) ?

? exр 0,653953 ? 1,921397.

Пример. Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией

R _t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна .

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:

S = .

Современная величина такого потока равна

A = .

Пусть функция потока платежей является линейной: R _t = R_o + at, где

R _o — начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

A = = + .

Обозначим A ₁ = , A₂ = .

Имеем: A ₁ = = — R_o /???= — R_o /?(-e^o ) = — R_o /?(-1) = R_o (-1)/?. A₂ = .

Вычислим неопределенный интеграл

по частям: u = t, dv = dt ? du = dt, v = = — /?, тогда = — t/? + 1/? = — t/? (t+1/?) +C. Следовательно,

A ₂ = -a t/? (t+1/?)= ((1- )/? — n)a/?.

Итак, исходный интеграл

A = A ₁ + A₂ = R_o (-1)/? + ((1- )/? — n)a/?.

Применение рядов в экономике

В настоящем разделе мы рассмотрим две задачи, касающиеся последовательностей и рядов, применительно к экономическим задачам.Пусть имеется вклад (рублей) в банке. По прошествии определенного промежутка времени банк начисляет проценты. Обозначим через количество процентов, начисляемых за год. Обычно про такую процентную ставку говорят, что она % годовых. Если промежуток времени, за который начисляются проценты, меньше, чем год, например от года, то за этот промежуток времени банк начислит %. Например, может быть ежеквартальное начисление процентов, тогда за каждый квартал будет начислено %. Иногда применяют ежемесячное начисление процентов. В этом случае за каждый месяц банк будет начислять %. В принципе, возможна и ситуация с ежедневным начислением %.Возможны различные ситуации начисления процентов:

с капитализацией

без капитализации

начисление сложных процентов

	n=1	n=4	n=12	n=365	n=?
Без капитализации	1.1 ден. ед.	1.1 ден. ед.	1.1 ден. ед.	1.1 ден. ед.	1.1 ден. ед.
С капитализацией	1.1 ден. ед.	1.10381 ден. ед.	1.10471 ден. ед.	1.10516 ден. ед.	1.10517 ден. ед.

Пример 1.Начальный размер вклада под 10% годовых в банке составил 1 млн рублей. Найти размер вклада через 5 лет:

а) без капитализации процентов,б) с ежегодной капитализацией,в) с ежеквартальной капитализацией,г) с ежемесячной капитализацией,д) с ежедневной капитализацией,е) с непрерывной капитализацией.

Решение .

а) б) в) г) д) е)

Другая задача — это вопрос о рыночной цене бессрочной облигации номиналом, например, 1000 рублей и 5% купоном. Это означает, что каждый год ее владелец будет получать 50 рублей дохода с одной облигации. Здесь используется ситуация начисления процентов без капитализации, рассмотренная выше. Однако пусть имеется инфляция 2% в год, которая обесценивает как саму облигацию, так и доходы от нее с течением времени. Доход 50 рублей, полученный через год, будет эквивалентен рублей сейчас, полученные еще через год 50 рублей будут эквивалентны рублей в современных ценах и так далее. Если считать доход от облигации без учета инфляции, то он будет расти до бесконечности, каждый год увеличиваясь на 50 рублей. С учетом же инфляции мы должны рассчитывать стоимость дохода, привязавшись к какому-то определенному моменту времени.Проведенные выше рассуждения имели привязку к текущему моменту времени и расчет дохода проводился исходя из текущей покупательной способности рубля. В итоге с учетом обесценивания денег бессрочный доход, получаемый с облигации в ценах текущего момента времени, будет даваться бесконечным числовым рядом . Запишем его в виде . Здесь постоянный множитель 50 в каждом слагаемом вынесен за знак ряда, а суммирование ряда начато не с , а с (чтобы привести его к ряду, составленному из членов геометрической прогрессии, начиная с единицы).

Добавление члена ряда с скомпенсировано вычитанием единицы в скобках. Используя известную формулу для суммы геометрической прогрессии, можем записать рублей. Именно такой доход в ценах сегодняшнего дня за бесконечный промежуток времени мы получим с одной облигации. Подобные задачи возникают при необходимости спрогнозировать и сравнить две стратегии инвестиций на будущее.