Реакция потребителя на изменения дохода и реакция потребителя на изменение цены. Эффект замены и эффект дохода, в том числе по Слуцкому и по Хиксу

Реферат

По предмету: Экономика

На тему: Реакция потребителя на изменения дохода и реакция потребителя на изменение цены. Эффект замены и эффект дохода, в том числе по Слуцкому и по Хиксу

ИЗМЕНЕНИЕ ДОХОДА

Смещение бюджетной линии приводит к новой точке равновесия, поскольку при каждом уровне дохода потребитель выбирает наиболее полезный набор благ. Связывая все точки равновесия на карте кривых безразличия, соответствующие различным величинам дохода, мы получаем кривую «доход_потребление», которая показывает, как потребительский набор изменяется в зависимости от дохода.

Кривая «доход_потребление» для нормальных (полноценных), некачественных (неполноценных) и для нейтральных (независимых) благ имеет различный наклон.

Кривая «доход_потребление» для нормальных (полноценных) благ имеет положительный наклон (рис. 1.1), поскольку с увеличением дохода увеличивается их потребление.

На рис. 1.1 показано, что сначала потребитель находится в равновесии при наборе, соответствующем точке Е1; где потребляется QХ1 единиц товара X. Увеличение дохода от I1 до I2 смещает бюджетную линию дальше от начала координат, но параллельно ей самой. Если бы потребитель не приобретал благо X, то доход l1 был бы полностью в распоряжении для покупок других благ. Если бы потребитель вновь не приобретал благо X, то возросший доход I2 позволил бы приобрести другие блага. На рис. 1.1 денежный доход потребителя представлен пересечением бюджетной линии потребителя с вертикальной осью.

Увеличение доходов дает возможность приобретать такие блага, которые потребитель прежде не мог приобрести. Это вызывает перемещение равновесия к новой точке — Е2. Еженедельное потребление блага X — QХ2 увеличилось в ответ на увеличение доходов.

Рис. 1.1. Кривая «доход_потребление» качественного товара

Таким образом, кривая «доход_потребление» иллюстрирует, как объем блага X, потребляемого в неделю, изменяется в зависимости от изменения дохода.

Кривая «доход_потребление» изображает, как потребление блага X изменяется с увеличением дохода и то, что потребление нормального (полноценного) блага неизменно растет.

Кривая «доход_потребление» для некачественных (неполноценных) благ имеет отрицательный наклон (рис. 1.2).

При рассмотрении потребителем некачественного блага кривая «доход_потребление» поворачивает к вертикальной оси координат. После достижения определенного уровня дохода дальнейшее его увеличение приводит к сокращению потребления блага. При достижении этого уровня дохода кривая «доход_потребление» принимает отрицательный наклон. Так, при увеличении доходов выше уровня I2 наступает сокращение потребления блага X. При увеличении доходов выше определенного уровня потребители будут отказываться от потребления некачественных благ.

11 стр., 5344 слов

Экономические блага и их классификация. Взаимодополняемость и ...

... цели работы необходимо сформулировать изучить сущность экономических благ и рассмотреть их классификацию; дать определение взаимодополняемых и взаимозаменяемых товаров; рассмотреть одну из форм экономического блага - высшее образование. Объект исследования - процесс обновления экономических благ, их взаимодополняемость и взаимозаменяемость. Предмет исследования - экономическое благо. 1. ...

реакция потребитель доход цена слуцкий

Рис. 1.2. Кривая «доход_потребление» некачественного товара

Заметим, что оценка блага как качественного или некачественного зависит от вкуса потребителя. В частности, указывается, что на юге Италии многие богатые люди все еще едят требуху.

Кривая «доход_потребление» для нейтральных (независимых) благ имеет вертикальный наклон (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Кривая «доход_потребление» на нейтральные товары

Нейтральные, или независимые, блага — это блага, которые не являются ни нормальными, ни некачественными для потребителя. Это блага, потребление которых остается неизменным при всех уровнях дохода. К этой группе благ относят, например, соль, туалетную бумагу, зубную пасту и т. п., расходы на которые занимают относительно незначительную часть бюджета. Это блага первой необходимости.

Кривая «доход_потребление» используется для построения кривой Энгеля.

КРИВЫЕ ЭНГЕЛЯ. Кривая Энгеля иллюстрирует зависимость между объемом потребления благ и доходом потребителя при неизменных ценах и предпочтениях. Она названа по имени немецкого экономиста и статистика Эрнста Энгеля (1821-1896), исследовавшего взаимосвязи между объемом покупаемого данным потребителем блага и величиной его дохода.

Кривая Энгеля изображена на рис. 9.4.

Рис. 1.4. Кривая Энгеля

На рис. 1.4 денежный доход нанесен на вертикальной оси, а объем приобретенного за определенный период блага X — на горизонтальной оси. Данные кривые могут быть выведены для потребителя с определенными предпочтениями (вкусами) и при заданных ценах на благо X и другие блага.

Заметим, что кривые Энгеля схожи с кривыми спроса, поскольку они изображают соотношение между важным фактором, влияющим на спрос, и количеством приобретаемых благ.

Считается, что получить для некоторого блага кривую Энгеля достаточно несложно. Для этого нужно отложить доход на вертикальной оси и равновесное количество реализованного блага, соответствующего этому доходу, — на горизонтальной оси. Так, на рис. 1.4 кривая «доход_потребление» изображает, что когда потребитель, чьи кривые безразличия начерчены, имеет еженедельный доход в размере равновесное количество приобретаемого блага X составляет QX1 единиц в неделю. Это обозначено точкой А. Точка В соответствует точке Е2 на рис. 1.1, для которой доход равен $12 в неделю и потребляемый объем X равен QX2.

Точки С и D на кривой Энгеля соотносятся на кривой «доход_потребление» с точками Е3 и Е4 на рис. 1.1 соответственно. Кривая Энгеля образуется посредством соединения всех точек, соответствующих различному доходу и связанному с ним равновесному количеству покупок благ X. Кривая Энгеля для нормального товара имеет положительный наклон, поскольку увеличение дохода всегда вызывает увеличение потребляемого объема такого блага.

14 стр., 6929 слов

Кривые «доход-потребление» и кривые Энгеля

... с помощью кривых Энгеля и кривых «доход-потребление». Научная новизна дипломной работы заключается в исследовании влияния кривых Энгеля и кривых «доход-потребление» ... процессе производства, распределения, обмена, потребления. Теория потребления является ... По мере роста благ, их наличного количества полезность обесценивается. Благо ... Данные предпочтения являются «чистыми», так как не зависят от доходов ...

Наклон кривой Энгеля может быть выражен как:

Наклон кривой Энгеля, изображенной на рис. 1.4, увеличивается по мере увеличения еженедельного дохода. Форма кривой Энгеля отражает информацию о способности покупок блага реагировать на изменения в доходах.

Кривая Энгеля для блага, которое потребляется безотносительно к уровню дохода покупателя, имеет форму вертикальной прямой (рис. 1.5).

На рис. 1.5 показана кривая Энгеля для такого блага. Так, ваши расходы на мандариновый сок не зависят от ваших доходов. Если вы покупаете 5 литров сока в неделю, то и при увеличении дохода все равно будете покупать 5 литров сока в неделю. Итак, кривая Энгеля демонстрирует, что независимо от размера дохода вы приобретаете в неделю один и тот же объем сока, т. е. изменения в доходе не приводят к изменениям в объеме приобретаемого блага.

Рис. 1.5. Кривая Энгеля, отражающая эластичность покупок блага независимо от уровня доходов

Рисунок 1.6 показывает, что наклон кривой Энгеля уменьшается по мере увеличения доходов, при этом восприимчивость количества покупок блага X на изменение дохода возрастает, т. е. объем покупок увеличивается с увеличением доходов. Блага, которые приобретаются с увеличением доходов, часто рассматриваются как предметы роскоши. С уменьшением доходов объем покупки этих благ, наоборот, уменьшится.

Рис. 1.6. Кривая Энгеля, отражающая эластичность покупок блага с изменением уровня доходов

Немецкий статистик А. Швабе отмечал ограниченность положений закона Энгеля. В частности, он указывал, что от доходов зависят тенденции изменения расходов на жилище. С. Струмилин на материалах пензенских бюджетов пришел к выводу, что доля расходов на питание находится в более тесной связи с размером семьи и возрастом ее членов.

Следовательно, связывать долю расходов семьи на питание с уровнем доходов, как это предлагал Энгель, некорректно, ибо должны учитываться и другие обстоятельства, на что указывали А. Швабе и С. Струмилин.

ЭНГЕЛЬ Эрнст (1821-1896), немецкий статистик и экономист. По образованию горный инженер. Изучал структуру бюджетов рабочих семей. На основе статистических данных вывел зависимость потребления продуктов питания от уровня доходов семьи.

СТРУМИЛИН Станислав Густавович (1877-1974), советский экономист и статистик, академик АН СССР. Под его руководством в Госплане СССР была разработана первая в мире система материального баланса. Он внес ряд коренных улучшений в постановку и методологию бюджетных исследований (1924), первым построил бюджетный индекс производительности труда.

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНЫ

Снижение цены на одно благо при неизменной структуре предпочтений и прежнем доходе приводит к повороту бюджетной линии против часовой стрелки до новой точки пересечения с осью, более удаленной от начала координат.

Повышение цены на данное благо при прочих равных условиях приведет к повороту бюджетной линии до новой точки пересечения с осью, более близкой к началу координат.

6 стр., 2873 слов

Понятие о кривых «доход-потребление» и «цена-потребление», ...

... потребителем для повседневных нужд. . 3 КРИВАЯ «ЦЕНА-ПОТРЕБЛЕНИЕ» И КРИВАЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО СПРОСА Кривая «доход-потребление» была построена при постоянных ценах благ. Изменялся только доход. Теперь постоянной величиной будет доход потребителя, а переменной - цена одного из благ, например, блага . Допустим, его цена ...

Рис. 2.1. Кривая «цена_потребление» и вывод «закона спроса»

Кривая, связывающая все точки равновесия потребителя при изменении в ценах, представляет собой кривую «цена_потребление» (рис. 2.1).

На рис. 2.1 изображен поворот бюджетной линии при последовательном понижении цены на благо X. По мере падения цены на X потребитель перемещается в новую точку равновесия на графике. Первоначально потребитель находится в равновесии в точке E1. Как видно из графика (рис. 2.1а), если цена на X понижается, он перемещается до точки Е2. Дальнейшее понижение цены приводит к передвижению потребителя до точки Е3 и затем до точки Е4 в ответ на это понижение. Соединяя эти точки, мы получаем кривую «цена_потребление».

На рис. 2.1а точки на оси Qx, демонстрирующие объем блага X, который потребитель мог бы приобрести, если бы он израсходовал весь свой доход на это благо, обозначены F1; F2, F3, F4. По этим точкам можно определить цену на X. Если эти цены отметим против соответствующих объемов потребленного X, можно получить кривую спроса, которая показывает количество спроса отдельного потребителя при различных ценах (рис. 2.1).

Это кривая потребительского спроса на благо X.

Кривая «цена_потребление» и кривая спроса — это два различных метода изображения того, каким образом приобретаемый объем блага изменяется при изменении цены блага и прочих равных условиях.

ЭФФЕКТ ЗАМЕНЫ (ЗАМЕЩЕНИЯ) — замена одного блага другим, обусловленная изменением их относительных цен. Понижение цены блага вызывает рост объема спроса на него. Более низкая цена одного блага при неизменных ценах на другие блага повышает его привлекательность, стимулирует потребителей заменить подешевевшим благом другие блага, оказавшиеся относительно более дорогими. Наоборот, если, например, цена какао растет, а цены остальных благ неизменны, то какао становится относительно дороже. В этом случае его будут покупать меньше, а чая купят больше.

Эффект замены (замещения) проиллюстрируем на рис. 2.2, где первоначальная бюджетная линия обозначена буквами RS и рассматриваются два блага — продукты питания и одежда. Потребитель максимизирует свою полезность посредством выбора «потребительской корзины» в точке А, достигая уровня полезности, соответствующего кривой безразличия U1 Если понижается цена продуктов питания, то бюджетная линия вращается против часовой стрелки к линии RT. Теперь потребитель выбирает набор в точке В на кривой безразличия U2 Мы видим, что понижение цены продуктов питания повысило реальный доход потребителя, выразившийся в увеличении потребления с OF1 до OF2. Что касается одежды, то ее покупки снизились с OC1 до OC2. Снижение представлено отрезком C1C2. Из сказанного следует, что продукты питания сравнительно дешевые, а одежда относительно дорогая.

На рис. 2.2 видим, что потребитель выбирает набор благ в точке С и потребляет OE единиц продуктов питания. Отрезок F1E представляет эффект замещения.

Рис. 2.2. График изменения эффектов дохода и эффектов замены (замещения) стандартного блага

ЭФФЕКТ ДОХОДА

Если денежный доход потребителя неизменен, то повышение цен означает уменьшение реального дохода, выражающего действительное количество благ, которое можно приобрести на его денежный доход. Когда цена некоторого блага растет при неизменном денежном доходе, то реальный доход потребителя понижается и он будет сокращать потребление почти всех благ. Это и есть эффект дохода, отражающий влияние изменения цены на величину спроса на блага, которое имеет место из_за влияния этого изменения на величину реального дохода потребителя.

17 стр., 8226 слов

Доходы групп населения и потребительское поведение

... потребительских благ. Для моделирования потребительского выбора используются кривые безразличия и бюджетное ограничение (линия потребительских возможностей). Кривые безразличия позволяют описать поведение ... доходов на поведение потребителя. Теоретической основой написания курсовой работы послужили работы классиков К.Менгера, Е. Бем-Баверка, У.Джевонса. Анализу данной проблеме посвящены работы ...

Эффект дохода рассмотрим на рис. 2.2, на котором бюджетная линия проходит через точку С и смещается к бюджетной линии RT. В этом случае потребитель выбирает набор благ B на кривой безразличия U2, а не набор C на кривой U1; поскольку более низкая цена на продовольствие повысила уровень полезности потребителя. Увеличение потребления продуктов питания с OE до OF2 отражает эффект дохода, являющийся положительной величиной, ибо продукты питания являются нормальным благом. Эффект дохода выражает перемещение от одной кривой безразличия к другой, и, следовательно, с его помощью можно определить изменение реального дохода потребителя.

На рис. 2.3 представлены эффекты дохода и эффекты замены (замещения) низкокачественного блага. Отрицательный эффект дохода измеряется отрезком F2E. Для низкокачественных благ эффект дохода лишь изредка перевешивает эффект замещения. В результате снижения цены низкокачественного блага его потребление почти всегда возрастает.

Для некоторых благ эффект дохода теоретически может быть достаточно большим, чтобы обеспечить увеличение кривой спроса на благо. Такое благо принято называть благом Гиффена — благо, спрос на которое растет даже при повышении его цены.

На рис. 2.4 показаны величины эффектов дохода и эффектов замены (замещения) для блага Гиффена. Вначале потребитель находится в точке А, потребляя сравнительно немного одежды и много продуктов питания. Потом цена продовольствия понижается, что высвобождает часть дохода таким образом, что потребитель желает купить больше одежды и меньше продуктов питания. Такое положение отражает точка В.

Считается, что благо Гиффена практического значения не имеет, поскольку он должен обладать большой отрицательной величиной эффекта дохода. Однако, как правило, эффект дохода незначителен и он существен лишь в том случае, когда этот товар составляет высокую долю в бюджете потребителя. Большие же эффекты дохода, как известно, чаще всего связаны с обычными, а не с менее качественными товарами.

Рис. 2.3. График изменения эффекта дохода и замещения низкокачественного блага

Рис. 2.4. Характер изменения кривой спроса на благо Гиффена

Положение о разложении общего эффекта изменения цен на эффект замены и эффект дохода впервые выдвинул российский экономист, математик и статистик Евгений Евгеньевич Слуцкий (1880-1948).

В 1915 г. он опубликовал в итальянском экономическом журнале статью «К теории сбалансированного бюджета потребителя». Эта статья была «открыта» в 30_х гг. английским экономистом, математиком и статистиком Р. Алленом. О приоритете научного исследования этой проблемы Е. Слуцким говорит английский экономист Дж. Хикс в своей работе «Стоимость и капитал», в которой он указывает, что разработанная им в соавторстве с Р. Алленом теория поведения потребителя «принадлежит по существу Слуцкому, с той лишь оговоркой, что я совершенно не был знаком с его работой ни во время завершения своего собственного исследования, ни даже некоторое время после опубликования содержания этих глав в журнале «Экономика» Р. Алленом и мной».

5 стр., 2298 слов

Курсовая — Эффект дохода и эффект замещения

... данной работы – рассмотреть эффект дохода и эффект замещения. Закон спроса характеризуется тем, что объемы покупок и благ, предназначенных для потребления, связаны с ценой обратной зависимостью. Сама структура спроса ... фактов. Разложение общего эффекта изменения цены на эффект дохода и эффект замены по Хиксу показано на рис.3. Бюджетная линия KL соответствует денежному доходу I и ценам Рх и Ру. Ее ...

Подходы Слуцкого и Хикса к определению реального дохода отличаются. По Хиксу, разные уровни денежного дохода, обеспечивающие один и тот же уровень удовлетворения, представляют одинаковый уровень реального дохода. По Слуцкому, только тот уровень денежного дохода, который достаточен для приобретения одного и того же набора или комбинации товаров, обеспечивает и неизменный уровень реального дохода.

Подход Хикса больше отвечает основным положениям порядковой теории. Подход Слуцкого дает возможность количественного решения проблемы на базе статистических данных.

Эффект замены и эффект дохода по Слуцкому

Графическая модель разложения общего эффекта изменения цены на эффект замены и эффект дохода по Слуцкому изображена на рис. 3.1.

Рис. 3.1

На рис. 3.1 показаны нормальные (полноценные) блага, спрос на которые увеличивается при росте дохода. Исходя из этого при понижении реального дохода соответствующая компонента в уравнении Слуцкого отрицательна. Сумма двух отрицательных величин также отрицательна, поэтому общий итог повышения цены для нормальных благ состоит в уменьшении объема спроса на них. Влияние эффекта замены и эффекта дохода однонаправленно, что мы видим на рис. 3.1.

На рис. 3.2 показаны нейтральные блага. В том случае, когда потребитель считает данное благо нейтральным, при изменении дохода спрос на такое благо не изменяется, а эффект дохода равен нулю. Общее же изменение потребления этого блага совпадает с эффектом замены. В данном случае наклон кривой спроса будет более крутым в сравнении с наклоном кривой спроса на нормальное благо (см. рис. 3.1).

Рис. 3.2

На рис. 3.3 изображен график неполноценного блага, спрос на которое при росте дохода сокращается, однако абсолютная величина эффекта дохода меньше величины эффекта замены. Общий результат роста цены будет отрицательным, хотя он будет еще меньше по абсолютной величине, нежели в случае с нейтральными благами.

Рис. 3.3

В случае с неполноценным благом, когда эффект замены и эффект дохода равны по абсолютной величине, спрос на такое неполноценное благо будет абсолютно неэластичным (рис. 3.4).

Рис. 3.4

В данном случае закон спроса продолжает действовать, однако его влияние нейтрализуется равносильным уменьшением реального дохода для неполноценных благ.

Когда же абсолютная величина эффекта дохода при изменении цены менее ценного блага превышает величину эффекта замены, то общий эффект повышения цены становится положительным.

Такой товар называется благом Гиффена, и кривая спроса на это благо имеет положительный наклон (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Эффект замены и эффект дохода по Хиксу

Рассмотрим разделение общего эффекта изменения цены на эффект замены и эффект дохода по Хиксу на примере двух вариантов: а) в случае снижения цены; б) в случае повышения цены. Начнем с первого варианта.

Разложение общего эффекта изменения цены на эффект дохода и эффект замены иллюстрируется на рис. 4.1. Бюджетная линия KL соответствует денежному доходу I и ценам Рх и PY. Касание бюджетной линии кривой безразличия U1U1 в точке E1 характеризует оптимум потребителя, который отражает объем потребления благ X в количестве X1. При неизменном денежном доходе I и при понижении X до РХ1 бюджетная линия займет положение KL1. Она касается более высокой кривой безразличия U2U2 в точке Е2, которой соответствует потребление блага X в объеме Х2. Следовательно, общий результат понижения цены блага X выражается в росте его потребления с X1 до Х2.

5 стр., 2171 слов

Внешние эффекты и формы их проявления

... потребителя. Следствием отрицательного внешнего эффекта является перепроизводство блага и занижение его цены. Таким образом, не включение части издержек производства в цену продукции равносильно бесплатному использованию ... положен в основу так называемой новой экономики благосостояния, став ее фундаментальным понятием. Парето-эффективность достигается в том случае, если экономика находится в таком ...

Рис. 4.1. Эффект замены и эффект дохода по Хиксу. Цена X снижается

Чтобы определить, каким должен был быть денежный доход потребителя для сохранения прежнего уровня удовлетворения при понижении цен, построим вспомогательную бюджетную линию K’L’ (линия Хикса), параллельную линии KL1; которая одновременно является касательной к кривой безразличия U1U1 в точке Е3, соответствующей объему потребления блага Х3. При переходе от исходного к дополнительному оптимуму (от E1 к Е3) реальный доход потребителя остается неизменным, оставаясь на прежней кривой безразличия UjUj. Таким образом, сдвиг от E1 к Е3 отражает эффект замены блага Y относительно подешевевшим благом X. Он равен разности Х3 — Х1; а эффект дохода составит Х2 — Х3. Действие эффекта дохода ведет к росту потребления обоих благ в точке Е2 в сравнении с точкой Е3.

Перейдем ко второму варианту разделения общего эффекта, когда цена блага X растет (рис. 4.2).

Повышение цены вызывает перемещение оптимального положения потребителя на более низкую кривую безразличия U1U1. Общий эффект роста цены блага X состоит в сокращении его потребления с X1 до Х2. В этом случае эффект замены составит X1 — Х3, а эффект дохода — Х3 — Х2.

Следует отметить, что в обоих вариантах эффект замены показывается движением вдоль одной и той же кривой безразличия, а эффект дохода — перемещением с одной кривой безразличия на другую.

Эффект замены является всегда отрицательным: понижение цены одного блага стимулирует потребителей увеличивать его потребление, уменьшая потребление другого блага; повышение цены стимулирует потребителей замещать это благо другими, относительно подешевевшими.

Рис. 4.2. Эффект замены и эффект дохода по Хиксу. Цена X повышается

Эффект дохода может быть отрицательным для полноценных благ, положительным — для неполноценных благ, нейтральным — когда спрос на благо при изменении дохода не изменяется и эффект дохода равен нулю.

Сопоставляя подходы Слуцкого и Хикса относительно деления общего эффекта на эффект замены и эффект дохода, можно сделать следующие выводы.

1. Методология Хикса допускает знание потребительских предпочтений, кривых безразличия, в то время как методология Слуцкого этого не требует, ибо она основывается на фактах поведения потребителей на рынке.

2. Методология Хикса соответствует основным положениям порядковой, или ординалистской, теории предельной полезности. Методология Слуцкого базируется на количественной, или кардиналистской, теории предельной полезности.

3. Слуцкий использовал менее строгий с точки зрения теории полезности, но более прагматичный метод определения данного уровня реального дохода.

4. По методологии Слуцкого, промежуточная бюджетная линия касается чаще всего более высокой, чем исходная, кривой безразличия, что и требуется по методологии Хикса. По Слуцкому, потребитель, располагая возможностью приобрести тот же набор благ, что и до изменения цен, окажется на более высоком уровне благосостояния, чем перед изменением цен.

5 стр., 2137 слов

Эффект замещения и эффект дохода по Хиксу и по Слуцкому

... эффект дохода и эффект замены по Хиксу так, как показано на рис. 1. Первоначальная бюджетная линия KL соответствует денежному доходу I и ценам Рx и Рy. Ее касание с кривой безразличия ... об эффекте замены и эффекте дохода с точек зрения двух учёных: Дж. Хикса и Е. Слуцкого. Целью моей работы является детальное рассмотрение эффекта замены и эффекта дохода, алгебраического вывода уравнения Слуцкого, и ...

СЛУЦКИЙ Евгений Евгеньевич (1880-1948), советский экономист, математик и статистик, основоположник математической теории потребления. На основе разработок зарубежных экономистов (В. Парето, Ф. Эджуорта и др.) связал функцию полезности, характеризующую предпочтения потребителей, с динамикой цен и размерами денежных доходов потребителей.

Образование получил в различных учебных заведениях. Сначала учился на математическом отделении Киевского университета, затем — на машиностроительном факультете Мюнхенского политехникума, а в 1911 г. закончил с золотой медалью юридический факультет Киевского университета.

Столь же разнообразна сфера его трудовой деятельности: профессор ряда вузов Киева, Конъюнктурный институт ЦСУ СССР (Москва), Научно_исследовательский институт математики и механики при МГУ, Математический институт им. В.А. Стеклова.