Применение понятия производной в экономике

метки: Производная, Спрос, Точка, Налог, Функция, Налогообложение, Равный, Окрестности

Понятие производной является одним из основных понятий математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.

Актуальной данной работы заключается в том, что математические дисциплины, составляющие основу современной математики и инструментария экономических исследований, способствую формированию мышления достойного уровня и высокой культуры, широкого кругозора. Эти качества необходимы как для успешной работы, так и для усовершенствования знаний и повышение квалификаций.

Целью данной работы — применение производной в экономике. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

Глава 1. Понятие производной

1.1 Определение производной

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x ₀ называется предел , если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f (x ) в точке x ₀ :

Дифференцируемость

Производная f ‘(x ₀ ) функции f в точке x ₀ , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x ₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x ₀ функции f в окрестности U (x ₀ ) справедливо представление

f (x ) = f (x ₀ ) + f ‘(x ₀ )(x − x ₀ ) + o (x − x ₀ ) при

Доходов населения. В данной работе использовались: «Политика ...

... насущных потребностей. Существует большое количество экономической литературы на тему доходов населения. В данной работе использовались: «Политика доходов и заработной платы» - учебник под редакцией П.В.Савченко, книга Никитина С. – «Личные доходы населения», «Динамика распределения доходов» - учебник ...

Замечания

• Назовём Δx = x − x ₀ приращением аргумента функции, а Δy = f (x ₀ + Δx ) − f (x ₀ ) приращением значения функции в точке x ₀ . Тогда

• Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция

• Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
• Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

1.2 Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся

Если функция f дифференцируема в x ₀ , то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная n -го порядка f ^{(n )} определена в некоторой окрестности точки x ₀ и дифференцируема. Тогда

Производные высших порядков обозначаются символами:

Когда n мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

Примеры

• Пусть f (x ) = x ² . Тогда

• Пусть f (x ) = | x | . Тогда если то

где sgn обозначает функцию знака . Если x ₀ = 0, то а следовательно f ‘(x ₀ ) не существует.

1.3 Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя их определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.

• (f + g )’ = f ‘ + g ‘ (производная суммы равна сумме производных)
• (отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу)
• Если функция задана параметрически:

, то

2.1 Предельная себестоимость

Рассмотрим зависимость C = f(Q) себестоимости С произведенной продукции от ее объема Q . Предельная себестоимость характеризует отношение прироста себестоимости D C к приросту объема продукции D Q при малом изменении объема продукции.

Производная в экономике

... смысл производной Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x 17 0 Экономическое приложение производной Ценовая эластичность спроса Реакция величины спроса на ... спрос уменьшается, а абсолютное значение производной показывает уменьшение спроса со стороны покупателей при повышении цены товара на единицу. Пусть t - налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда ...

2.2 Оптимизация налогообложения предприятий

Пусть t — налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с Q единиц продукции составит T= tQ. В этом случае функция прибыли будет иметь вид:

П(Q)= R (Q)-С(Q) Q- t Q.

Возникает вопрос: каким должен быть налог t , чтобы величина суммарного налога T со всей продукции была наибольшей?

Рассмотрим этот вопрос на примере: пусть R (Q)=16 Q- Q² ,

а С (Q) = Q ² +1.

Тогда функция прибыли имеет вид:

П(Q)= 16Q-2 Q — t Q-1

(Q)=0,

Q _opt =4- t/4.

Полученное значение объема производства следует подставить в величину суммарного налога и в свою очередь найти при которых величина Т будет максимальной. Итак,

Т= t Q= t( 4- t/4 ); Т′=0, тогда получаем, что t=8.

Отсюда следует, что Q _opt =2, и при этом значении максимальная величина прибыли составит П_мах =7, а оптимальный (с точки зрения налогового законодательства) сбора налога Т_орт =16.

Интересно составить эти цифры со случаем отсутствия налогообложения. При t=0 решение задачи _opt ′ t Qна максимизацию прибыли дает следующие результаты: Q _opt =4, П_мах =31. Следовательно, уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит к увеличению прибыли от ее реализации. Понятно, почему производители тратят массу усилий средств на снижение ставки налога

2.3 Эластичность спроса

Пусть D=D(P) – функция спроса от цены товара Р . Под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1 %:

При непрерывной зависимости D D от D P удобно перейти к пределу при D P ® 0:

Эластичность спроса можно представить в следующем виде:, Из этого равенства следует, что эластичность спроса обладает свойствами логарифма:

Так как D(P) — убывающая функция, то . Из формулы (4.1) следует, что E(D)< 0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины ½ E(D) ½ :

1. 1) ½ E(D) ½ >1 (E(D) < -1) – спрос эластичен;
2. 2) ½ E(D) ½ =1 (E(D) = -1) ) – спрос нейтрален;
3. 3) ½ E(D) ½ <1 (E(D) > -1) ) – спрос неэластичен.

Найдем изменение выручки с увеличением цены товара при разных вариантах эластичности спроса. Выручка I равна произведению цены товара P на величину спроса D :

««Налоги — это та цена, которую мы платим, чтобы жить в цивилизованном обществе

... товаров и др. Таким образом, это действительно важная составляющая регулирования экономики в интересах всего общества. Главное, чтобы люди осознавали, что в итоге налоги ... тяжести налогообложения и способам изъятия доходов. Таким образом, налоги выполняют следующие функции: фискальную, распределительную, стимулирующую функцию, ... высказывании, когда говорит о налоге. Цена - это форма выражения ...

I(P)=D(P) P

Найдем производную этой функции: