Определение показателей производительности труда и себестоимости единицы продукции

метки: Производительность, Группа, Продукция, Единица, Совокупность, Индекс, График, Распределение

Практическая

1. Определите объект наблюдения, единицу наблюдения и единицу совокупности:

• а) в отчетности по вводу объектов строительства, основных фондов и мощностей;
• б) в отчетности по переписи поголовья скота на единоличных подворьях.

Решение: .

Объект наблюдения — совокупность социально-правовых явлений и процессов, которые подлежат исследованию, или точные границы, в пределах которых будут регистрироваться статистические сведения.

Единица совокупности — это первичный элемент объекта статистического наблюдения, являющийся носителем признаков, подлежащих регистрации и основой ведущегося при обследовании счета.

Численность единиц совокупности характеризует объем и распространенность изучаемого явления.

Единица наблюдения — это та первичная ячейка, от которой должны быть получены необходимые статические сведения.

а) В отчетности по вводу объектов строительства, основных фондов и мощностей объектом наблюдения будут основные фонды, объекты строительства, станки и другие мощности. Единицей совокупности будут здания, сооружения, станки и другие основные фонды. Единицей наблюдения будут предприятия — хозяева единиц совокупности.

б) В отчетности по переписи поголовья скота на единоличных подворьях объектом наблюдения будет скот на единоличных подворьях. Единицей совокупности будут коровы, свиньи, бараны, козы и другой скот. Единицей наблюдения будут единоличные подворья — хозяева единиц совокупности.

Практическая

Имеются отчетные данные о работе 36 заводов отрасли за год (табл.2.1).

Таблица 2.1.

№ завода.	Произведено продукции, тыс. т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.

1. На основе данных табл. 2.1:

• а) вычислить показатели производительности труда и себестоимости единицы продукции (1 тонны);
• б) произвести группировку предприятий по производительности труда, разделив их на 6 групп с равными интервалами. Составить таблицы по группам предприятий и сводную таблицу группировки. В сводной таблице каждую группу охарактеризовать:
• числом предприятий;
• суммарной численностью работников, общими объемами производства и суммарными затратами;
• в) построить структурную таблицу, где показать структуру числа предприятий по числу, суммарным затратам, объемам производства и численности рабочих;

• г) построить аналитическую таблицу, где показать взаимосвязь показателей;
• д) по данным распределения предприятий построить график ряда распределения, вычислить среднее значение группировочного признака и его коэффициент вариации, указать моду и медиану ряда распределения.

Решение: .

Производительность труда (щ) равна отношению произведенного объема продукции (Q) к среднесписочному числу работников (Т) щ = Q / T.

Себестоимость единицы продукции © равна отношению общей суммы затрат на производство (Z) к среднесписочному числу работников (Т) С = Z / T.

Рассчитаем производительность и себестоимость одной тонны продукции для каждого завода в отдельности, результаты приведем в таблице 2.2.

Найдем также суммарные показатели произведенного объема продукции (Q), общих затрат на производство (Z) и численности работников (Т).

Показатели производительности труда и себестоимости единицы продукции в целом по всем заводам рассчитываются как отношение суммарных показателей.

= Q / T; = Z / T.

Приведем суммарные показатели в таблице 2.2.

Таблица 2.2.

№ п/п.	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции,.
				137,9.	900,00.
				109,2.	855,61.
				118,8.	961,54.
				140,4.	778,28.
				74,4.	900,47.
				189,3.	769,23.
				163,5.	836,07.
				114,5.	800,00.
				144,7.	772,65.
				70,0.	1102,94.
				105,3.	970,87.
				135,0.	768,26.
				109,9.	1028,71.
				80,6.	1054,55.
				111,9.	782,61.
				145,7.	761,06.
				124,2.	905,29.
				78,2.	1227,27.
				150,1.	912,34.
				125,0.	816,90.
				112,3.	1148,04.
				116,1.	840,52.
				93,5.	1037,74.
				159,0.	771,65.
				189,1.	862,07.
				184,5.	761,33.
				120,6.	816,12.
				70,7.	941,18.
				111,7.	918,73.
				127,2.	976,65.
				109,3.	1021,74.
				95,5.	1127,60.
				96,3.	1004,46.
				120,4.	1038,96.
				85,8.	1155,38.
				138,1.	760,74.
Итого:				127,4.	863,95.

При группировке с равными интервалами для расчета длины одного интервала применяется формула:

• где h — длина одного интервала;

x _max — максимальное значение группировочного признака;

x _min — минимальное значение группировочного признака;

Найдем длину интервала:

т / чел.

Найдем, в какую группу попадает каждый завод и составим таблицы по группам:

Таблица 2.3 Данные заводов 1-ой группы.

№ п/п.	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
				74,4.	900,47.
					1102,94.
				80,6.	1054,55.
				78,2.	1227,27.
				70,7.	941,18.
				85,8.	1155,38.
Итого:				77,3.	1068,88.

Таблица 2.4 Данные заводов 2-ой группы.

№ п/п.	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
				109,2.	855,61.
				105,3.	970,87.
				93,5.	1037,74.
				109,3.	1021,74.
				95,5.	1127,6.
				96,3.	1004,46.
Итого:				101,0.	1012,95.

Таблица 2.5 Данные заводов 3-ей группы.

№ п/п.	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
				118,8.	961,54.
				114,5.
				109,9.	1028,71.
				111,9.	782,61.
				124,2.	905,29.
					816,9.
				112,3.	1148,04.
				116,1.	840,52.
				120,6.	816,12.
				111,7.	918,73.
				127,2.	976,65.
				120,4.	1038,96.
Итого:				117,9.	890,15.

Таблица 2.6 Данные заводов 4-ой группы.

№ п/п.	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
				137,9.
				140,4.	778,28.
				144,7.	772,65.
					768,26.
				145,7.	761,06.
				138,1.	760,74.
Итого:				140,7.	788,76.

Таблица 2.7 Данные заводов 5-ой группы.

№ п/п.	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
				163,5.	836,07.
				150,1.	912,34.
				159,0.	771,65.
Итого:				158,0.	820,01.

Таблица 2.8 Данные заводов 6-ой группы.

№ п/п.	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
				189,3.	769,23.
				189,1.	862,07.
				184,5.	761,33.
Итого:				187,3.	788,13.

Таблица 2.9 Сводная таблица группировки.

№ группы.	Группы заводов по производительности труда (интервалы), т/чел.	Число заводов.	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.
		;	89,9.
	89,9.	;	109,8.
	109,8.	;	129,7.
	129,7.	;	149,6.
	149,6.	;	169,5.
	169,5.	;	189,4.
Итого.

Наибольшие объемы произведенной продукции, общую сумму затрат и суммарную численность работников имеет группа заводов № 3.

Определим структуру объема производства, общей суммы затрат и численности работающих по группам. Результаты расчета представим в таблице.

Таблица 2.10 Структурная таблица.

№.	Группы заводов по производительности труда.	Число заводов.	Произведено продукции.	Общая сумма затрат.	Среднесписочное число работников.
		шт.	% к итогу.	тыс.т.	% к итогу.	млн. руб.	% к итогу.	чел.	% к итогу.
		;	89,9.		16,7.		5,8.		7,1.		9,5.
	89,9.	;	109,8.		16,7.		9,9.		11,6.		12,4.
	109,8.	;	129,7.		33,3.		33,1.		34,1.		35,7.
	129,7.	;	149,6.		16,7.		26,8.		24,5.		24,2.
	149,6.	;	169,5.		8,3.		11,1.		10,6.		9,0.
	169,5.	;	189,4.		8,3.		13,4.		12,2.		9,1.
Итого.					100,0.		100,0.		100,0.		100,0.

В аналитическую таблицу сведем средние показатели по численности работников, общей сумме затрат и выпуску продукции, а также показатели производительности труда и средней стоимости тонны продукции.

Таблица 2.11 Аналитическая таблица.

№ группы.	Группы заводов по производительности труда.	Средний объем производства продукции, т.	Общая сумма затрат в среднем на один завод,.	Средняя численность работников,.	Производительность труда, т / чел.	Средняя стоимость единицы продукции,.
		;	89,9.	210,50.	225,00.	2722,83.	77,3.	1068,88.
	89,9.	;	109,8.	360,33.	365,00.	3569,17.	101,0.	1012,95.
	109,8.	;	129,7.	603,83.	537,50.	5121,83.	117,9.	890,15.
	129,7.	;	149,6.	978,33.	771,67.	6951,67.	140,7.	788,76.
	149,6.	;	169,5.	813,00.	666,67.	5146,67.	158,0.	820,01.
	169,5.	;	189,4.	977,00.	770,00.	5215,67.	187,3.	788,13.
Итого.				608,64.	525,83.	4778,08.	127,4.	863,95.

По аналитической таблице видим, что с ростом средней производительности труда возрастают средний объем производства и общие затраты. Это говорит о наличии прямой связи между показателями. Средняя себестоимость единицы продукции имеет обратную связь со средней производительностью труда.

Графиком интервального распределения является гистограмма. Построим график распределения предприятий:

Рис. 2.1 Гистограмма распределения заводов по производительности труда.

Найдем среднее значение признака по формуле для интервального ряда:

• где — среднее значение признака;

x _i — значение признака на интервале (середина интервала);

m _i — частота повторения признака на интервале Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 2.12 Расчетная таблица для расчета среднего.

№ группы.	Группы заводов по производительности труда (интервалы) т/чел.	Число заводов, n i .	Середина интервала, x i .	n i * xi .
		;	89,9.		79,95.	479,7.
	89,9.	;	109,8.		99,85.	599,1.
	109,8.	;	129,7.		119,75.
	129,7.	;	149,6.		139,65.	837,9.
	149,6.	;	169,5.		159,55.	478,65.
	169,5.	;	189,4.		179,45.	538,35.
Итого.						4370,7.

= 4370,7 / 36 = 121,41 т / чел.

Найдем дисперсию признака по формуле:

где — дисперсия признака.

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 2.13 Расчетная таблица для расчета дисперсии.

№ группы.	Группы заводов по производительности труда (интервалы) т/чел.	Число заводов, n i .	Середина интервала, x i .	(х i —).	(х i —)2 .	n i * (хi —)2 .
		;	89,9.		79,95.	— 41,46.	1718,932.	10 313,59.
	89,9.	;	109,8.		99,85.	— 21,56.	464,8336.	2789,002.
	109,8.	;	129,7.		119,75.	— 1,66.	2,7556.	33,0672.
	129,7.	;	149,6.		139,65.	18,24.	332,6976.	1996,186.
	149,6.	;	169,5.		159,55.	38,14.	1454,66.	4363,979.
	169,5.	;	189,4.		179,45.	58,04.	3368,642.	10 105,92.
Итого.								29 601,75.

= 29 601,75 / 36 = 822,27 (т / чел.) ² .

Среднее квадратичное отношение т / чел.

Коэффициент вариации .

Коэффициент вариации меньше 33% значит выборка однородная.

Мода — это наиболее часто повторяющееся значение признака, для группировки мода находиться по формуле :

гдех ₀ — начальное значение модального интервала;

f _Mo , f_{Mo -1} , f_{Mo +1} — частота появления признака соответственно в интервале модальном, предшествующем модальному и следующим за модальным;

• h — длина интервала.

т / чел.

Найдем медиану выборки по формуле для интервального ряда :

гдех ₀ — начальное значение медианного интервала;

f’ _{M е-1} — накопленная частота в интервале предшествующем медианному.

f _{M е} — частота появления признака в медианном интервале;

• h — длина интервала.

Найдем медиану выборки.

т / чел.

Практическая

1. Имеются следующие данные о структуре и динамике производства на заводе стройдеталей в табл. 3.1.

Таблица 3.1.

Условные обозначения видов продукции.	Удельный вес видов продукции (%) в прошлом году.	Темпы роста объемов производства, %.
А.	15,8.	102,6.
Б.	10,2.	110,2.
В.	25,0.	108,7.
Г.	40,9.	105,0.
Д.	8,1.	118,0.
Общий объем производства.	100,0.	106,6.

Определите структуру производства в плановом году.

2. Фактическое и требуемое распределение рабочих по тарифным разрядам представлено в табл. 3.2.

Таблица 3.2.

Тарифный разряд.							Итого.
Фактическая численность, чел.
Требуемая структура, %.

Постройте график ряда распределения фактически работающих 115 рабочих и сравните его с требуемой по составу работ структурой квалификаций.

Как называется этот график ряда распределения?

3. Совокупность состоит из 2 частей. Известно, что одна часть составляет от другой 50%. Рассчитайте структуру совокупности.

Решение: .

1) Определим средневзвешенный по элементам структуры индекс роста продукции.

В этом случае весами будут выступать удельные веса видов продукции (выраженные в долях):

I = (i * d _пр / 100).

Тогда удельный вес одной группы продукции можно найти как отношение произведения индивидуального индекса и удельного веса к средневзвешенному индексу:

d _пл = (i * d_пр ) / I.

Найдем удельные веса продукции в плановом году. Результаты расчетов представим в таблице 3.3.

Таблица 3.3 Расчет структуры продукции в плановом периоде.

Условные обозначения видов продукции.	Удельный вес видов продукции (%) в прошлом году (d пр ).	Темпы роста объемов производства, % (i).	i * d пр / 100.	Удельный вес видов продукции (%) в плановом году (d пл ).
А.	15,8.	102,6.	16,21.	15,13.
Б.	10,2.	110,2.	11,24.	10,49.
В.		108,7.	27,18.	25,37.
Г.	40,9.		42,95.	40,09.
Д.	8,1.		9,56.	8,92.
Общий объем производства.		106,6.	107,14.

2) Найдем удельный вес i-го тарифного разряда (d _i ) как отношение численности рабочих данного разряда (n_i ) к общей численности рабочих (n):

d _i = n_i / n * 100%.

Например, для перового разряда:

d ₁ = 10 / 115 * 100 = 8,7%.

Рассчитаем фактическую структуру распределения рабочих по тарифным разрядам.

Таблица 3.4.

Тарифный разряд.							Итого.
Фактическая численность, чел.
Фактическая структура, %.	8,7.	13,04.	21,74.	34,78.	14,78.	6,96.
Требуемая структура, %.

Построенный график называется сравнительной диаграммой.

По диаграмме видим, что фактическая структура рабочих перераспределена в сторону низких разрядов по сравнению с требуемой структурой. На лицо нехватка высококвалифицированных кадров.

3) Совокупность состоит из 2 частей. Известно, что одна часть составляет от другой 50%. Рассчитайте структуру совокупности.

Найдем долю более крупной части в общей совокупности:

d ₁ = 100 / (100 + 50) * 100% = 66,67% или 2/3.

Найдем долю меньшей части в общей совокупности:

d ₂ = 50 / (100 + 50) * 100% = 33,33% или 1/3.

Практическая

Таблица 4.1.

Интервал по зарплате, руб.	Число рабочих в группе, чел.
180−200.
200−400.
400−600.
600−800.
800−1000.
1000−1200.
1200−1400.
1400−1600.
Итого:

Рассчитайте методом моментов среднюю зарплату рабочих.

Определите модальное значение средней зарплаты.

Найдите медиану ряда распределения.

Решение: .

Математическое ожидание распределения находиться как начальный момент первого порядка:

Для интервального ряда в качестве x _i будут выступать середины интервалов.

M _x = (190 * 10 + 300 * 30 + 500 * 50 + 700 * 60 + 900 * 145 + 1100 * 110 + 1300 * 80 + 1500 * 15) / 500 = 455 900 / 500 = 911,8 руб.

Мода — это наиболее часто повторяющееся значение признака, для интервального ряда мода находиться по формуле :

гдех ₀ — начальное значение модального интервала;

f _Mo , f_{Mo -1} , f_{Mo +1} — частота появления признака соответственно в интервале модальном, предшествующем модальному и следующим за модальным;

• h — длина интервала.

Модальным является интервал с наибольшим числом рабочих (800 — 1000 руб.).

руб.

Медиана выборки находиться по формуле для интервального ряда :

гдех ₀ — начальное значение медианного интервала;

f’ _{M е-1} — накопленная частота в интервале предшествующем медианному.

f _{M е} — частота появления признака в медианном интервале;

• h — длина интервала.

Медианным интервалом является интервал в котором накопленная частота превышает половину выборки. Для приведенного в табл. 4.1 ряда такой интервал 800 — 1000 руб.

Найдем медиану выборки.

руб.

Практическая

В соответствии с макетом по данным табл. 2.1 постройте группировку предприятий по признакам: Х — производительность труда, Y — себестоимость единицы продукции.

Вычислите общую, внутригрупповые и межгрупповую дисперсии фондовооруженности труда; среднюю из внутригрупповых. Проверьте сложением дисперсий правильность Ваших расчетов.

Вычислите коэффициент детерминации [6, https:// ].

Сделайте краткие выводы.

Решение: .

Разделим выборку на 5 классов. Величины интервалов определим из формул:

Составим корреляционную таблицу Таблица 5.1.

X.	Y.	Итого.
70,0.	93,9.							79,03.
93,9.	117,7.							108,36.
117,7.	141,6.							128,76.
141,6.	165,4.							152,60.
165,4.	189,3.							187,63.
Итого.							;
	788,24.	899,46.	1005,08.	1095,03.	1176,90.	;	;

Значения в столбце и строке задают последовательность точек, которая иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака (у) от факторного признака (х) — эмпирическую линию регрессии.

Общая и межгрупповая дисперсии находятся по формулам :

• где — межгрупповая дисперсия;
• общая дисперсия.
• групповые средние;
• общая средняя;

n _i — частота i-ой группы;

y _i — i-й вариант признака;

f _i — частота i-го варианта.

Общая дисперсия показывает вариацию результативного признака под воздействием всех факторов. Межгрупповая дисперсия показывает вариацию результативного признака, обусловленную вариацией группировочного. Средняя из внутригрупповых показывает вариацию результативного признака под воздействием факторов неучтенных при группировке. Средняя из внутригрупповых находиться по формуле средневзвешенной.

Все три вида дисперсий связаны правилом сложения трех дисперсий.

= +.

Таблица 5.2 Вспомогательные расчеты для расчета межгрупповой дисперсии.

Группа по Х.	n i .	i .	i ;	( i —)2 .	n i (i —)2 .
		1059,93.	140,83.	19 834,21.	138 839,45.
		954,44.	35,35.	1249,32.	13 742,47.
		872,27.	— 46,82.	2192,57.	21 925,70.
		810,75.	— 108,34.	11 738,61.	58 693,07.
		797,54.	— 121,56.	14 775,75.	44 327,26.
Итого.		919,10.			277 527,95.

= 277 527,95 / 36 = 7709,11.

Таблица 5.3 Вспомогательные расчеты для расчета общей дисперсии.

Группа по Y.	n i .	y i .	y i ;	(y i —)2 .	n i (yi —)2 .
		807,39.	— 111,7.	12 478,2.	174 694,9.
		900,70.	— 18,4.	338,6.	2708,4.
		994,01.	74,9.	5610,9.	44 887,4.
		1087,31.	168,2.	28 295,3.	84 885,9.
		1180,62.	261,5.	68 391,7.	205 175,2.
Итого.		919,10.			512 351,8.

= 512 351,8 / 36 = 17 820,82.

Найдем внутригрупповую дисперсию по первой группе.

Таблица 5.4 Расчетная таблица для расчета дисперсии по первой группе.

№ п/п.	y.	y ;	(y —) 2 .
	900,47.	— 159,46.	25 428,40.
	1102,94.	43,01.	1849,61.
	1054,55.	— 5,38.	28,98.
	1227,27.	167,34.	28 001,72.
	1037,74.	— 22,19.	492,52.
	941,18.	— 118,75.	14 102,24.
	1155,38.	95,45.	9110,16.
Сумма.	7419,53.		79 013,63.

= 79 013,63 / 7 = 11 287,66.

Найдем внутригрупповую дисперсию по второй группе Таблица 5.5 Расчетная таблица для расчета дисперсии по второй группе.

№ п/п.	y.	y ;	(y —) 2 .
	855,61.	— 98,83.	9768,27.
	800,00.	— 154,44.	23 853,12.
	970,87.	16,43.	269,80.
	1028,71.	74,27.	5515,36.
	782,61.	— 171,83.	29 527,11.
	1148,04.	193,60.	37 479,20.
	840,52.	— 113,92.	12 978,80.
	918,73.	— 35,71.	1275,53.
	1021,74.	67,30.	4528,68.
	1127,60.	173,16.	29 982,81.
	1004,46.	50,02.	2501,55.
Сумма.	10 498,89.		157 680,22.

= 157 680,22 / 11 = 14 334,57.

Найдем внутригрупповую дисперсию по третьей группе.

Таблица 5.6 Расчетная таблица для расчета дисперсии по третьей группе.

№ п/п.	y.	y ;	(y —) 2 .
	900,00.	27,73.	768,73.
	961,54.	89,27.	7968,42.
	778,28.	— 93,99.	8834,87.
	768,26.	— 104,01.	10 818,91.
	905,29.	33,02.	1090,06.
	816,90.	— 55,37.	3066,28.
	816,12.	— 56,15.	3153,27.
	976,65.	104,38.	10 894,35.
	1038,96.	166,69.	27 784,22.
	760,74.	— 111,53.	12 439,83.
Сумма.	8722,74.		86 818,95.

= 86 818,95 / 10 = 8681,89.

Найдем внутригрупповую дисперсию по четвертой группе Таблица 5.7 Расчетная таблица для расчета дисперсии по четвертой группе.

№ п/п.	y.	y ;	(y —) 2 .
	836,07.	25,32.	640,90.
	772,65.	— 38,10.	1451,91.
	761,06.	— 49,69.	2469,49.
	912,34.	101,59.	10 319,72.
	771,65.	— 39,10.	1529,12.
Сумма.	4053,77.		16 411,15.

= 16 411,15 / 5 = 3282,23.

Найдем внутригрупповую дисперсию по четвертой группе.

Таблица 5.8 Расчетная таблица для расчета дисперсии по четвертой группе.

№ п/п.	y.	y ;	(y —) 2 .
	769,23.	— 28,31.	801,64.
	862,07.	64,53.	4163,69.
	761,33.	— 36,21.	1311,41.
Сумма.	2392,63.		6276,74.

= 6276,74 / 3 = 2092,25.

Найдем среднюю из внутригрупповых :

= (11 287,66 * 7 + 14 334,57 * 11 + 8681,89 * 10 + 3282,23 * 5 + 2092,25 * 3) / 36 =346 200,68 / 36 = 9616,69.

Проверим правило сложения дисперсий.

+ =.

7709,11 + 9616,69 = 17 325,8.

= 17 820,82.

Т.е. правило сложения дисперсий выполняется.

Эмпирический коэффициент детерминации равен :

= 7709,11 / 17 820,82 = 0,433.

Т.е. 43,3% вариации результативного признака объясняется вариацией факторного признака. Связь между показателями средняя.

Практическая работа № 6

На основе данных табл. 2.1 и расчетов себестоимости © и производительности труда (щ) выполните следующие операции по расчету линии регрессии :

• нанесите на график корреляционного поля данные по 36 заводам;
• сделайте вывод о возможной форме связи между себестоимостью продукции и производительностью труда;
• для выбранной формулы с помощью метода наименьших квадратов рассчитайте величины коэффициентов;
• нанесите на график корреляционного поля полученную теоретическую линию регрессии;
• рассчитайте для данной формы связи необходимые показатели, характеризующие тесноту связи (корреляционное отношение или коэффициент корреляции) между себестоимостью продукции и производительностью труда.

Решение: .

Построим корреляционное поле.

По графику можно предположить наличие обратной связи между производительностью труда (х) и себестоимостью единицы продукции (у).

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно, а и b :

По исходным данным рассчитываем х, у, ух, х ² , у² .

Таблица 6.1.

№ п/п.	y.	x.	yx.	x 2 .	y 2 .
		137,9.	124 110,00.	19 016,41.	810 000,00.
	855,61.	109,2.	93 432,61.	11 924,64.	732 068,47.
	961,54.	118,8.	114 230,95.	14 113,44.	924 559,17.
	778,28.	140,4.	109 270,51.	19 712,16.	605 719,76.
	900,47.	74,4.	66 994,97.	5535,36.	810 846,22.
	769,23.	189,3.	145 615,24.	35 834,49.	591 714,79.
	836,07.	163,5.	136 697,45.	26 732,25.	699 013,04.
		114,5.	91 600,00.	13 110,25.	640 000,00.
	772,65.	144,7.	111 802,46.	20 938,09.	596 988,02.
	1102,94.		77 205,80.	4900,00.	1 216 476,64.
	970,87.	105,3.	102 232,61.	11 088,09.	942 588,56.
	768,26.		103 715,10.	18 225,00.	590 223,43.
	1028,71.	109,9.	113 055,23.	12 078,01.	1 058 244,26.
	1054,55.	80,6.	84 996,73.	6496,36.	1 112 075,70.
	782,61.	111,9.	87 574,06.	12 521,61.	612 478,41.
	761,06.	145,7.	110 886,44.	21 228,49.	579 212,32.
	905,29.	124,2.	112 437,02.	15 425,64.	819 549,98.
	1227,27.	78,2.	95 972,51.	6115,24.	1 506 191,65.
	912,34.	150,1.	136 942,23.	22 530,01.	832 364,28.
	816,9.		102 112,50.	15 625,00.	667 325,61.
	1148,04.	112,3.	128 924,89.	12 611,29.	1 317 995,84.
	840,52.	116,1.	97 584,37.	13 479,21.	706 473,87.
	1037,74.	93,5.	97 028,69.	8742,25.	1 076 904,31.
	771,65.		122 692,35.	25 281,00.	595 443,72.
	862,07.	189,1.	163 017,44.	35 758,81.	743 164,68.
	761,33.	184,5.	140 465,39.	34 040,25.	579 623,37.
	816,12.	120,6.	98 424,07.	14 544,36.	666 051,85.
	941,18.	70,7.	66 541,43.	4998,49.	885 819,79.
	918,73.	111,7.	102 622,14.	12 476,89.	844 064,81.
	976,65.	127,2.	124 229,88.	16 179,84.	953 845,22.
	1021,74.	109,3.	111 676,18.	11 946,49.	1 043 952,63.
	1127,6.	95,5.	107 685,80.	9120,25.	1 271 481,76.
	1004,46.	96,3.	96 729,50.	9273,69.	1 008 939,89.
	1038,96.	120,4.	125 090,78.	14 496,16.	1 079 437,88.
	1155,38.	85,8.	99 131,60.	7361,64.	1 334 902,94.
	760,74.	138,1.	105 058,19.	19 071,61.	578 725,35.
Итого.	33 087,56.	4358,7.	3 907 787,13.	562 532,77.	31 034 468,27.
Среднее.	919,10.	121,08.	108 549,6.	15 625,9.	862 068,6.
Обозначение среднего.

Найдем дисперсию переменных:

= 15 625,9 — 121,08 ² = 966,75.

= 862 068,6 — 919,10 ² = 17 325,8.

Найдем параметры a и b уравнения линейной регрессии :

• 2,8.

919,10 + 2,8

• 121,08 = 1261,03.

Уравнение регрессии :

= 1261,03 — 2,8

• х.

С увеличением средней производительности труда на 1 т / чел. себестоимость одной тонны уменьшается на 2,8 руб.

Нанесем линию регрессии на график корреляционного поля.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

• 0,667.

Т.к. коэффициент близок к — 0,7, то связь средняя, близкая к сильной, обратная.

Практическая работа № 7

Изменение объемов товарооборота и цен в 1985;1990 гг. приведено табл.7.1.

Таблица 7.1.

Годы.
Изменение объемов товарооборота, млн. руб.
Цепной индекс цен.	-;	1,02.	1,03.	1,05.	1,06.	1,08.

Рассчитайте:

• а) показатели динамики объема товарооборота за эти годы (абсолютные приросты, темпы роста и прироста, их средние величины);
• б) постройте график, определите вид функции и проведите операцию аналитического выравнивания. Теоретическую линию регрессии нанесите на график.

Решение: .

Рассчитаем показатели динамики по следующим формулам:

Рассчитаем показатели динамики по следующим формулам:

Абсолютный прирост базисный:

_{i баз} = Y_i — Y₁ ,.

где Y ₁ — размер показателя в первом году, Y_i — размер показателя в i-ом году. Абсолютный прирост цепной:

_{i цеп} = Y_i — Y_i-1 ,.

где Y _i-1 — размер показателя в предшествующий i-му год.

Темп роста базисный:

Т _{р баз} = (Y_i / Y₁ )

• 100 .

Темп роста цепной:

Т _{р цеп} = (Y_i / Y_i-1 )

• 100 .

Темп прироста базисный:

Т _{пр баз} = Т_{р баз} — 100 .

Темп прироста цепной:

Т _{пр цеп} = Т_{р цеп} — 100 .

Рассчитанные показатели сведем в таблицу 7.2.

Таблица 7.2 Показатели динамики объема товарооборота.

Квартал.	Объемы товарооборота, млн. руб.	Абсолютный прирост.	Темп роста, %.	Темп прироста, %.
		базисный.	цепной.	базисный.	цепной.	базисный.	цепной.
			;	100,0.	;	0,0.	;
				102,9.	102,9.	2,9.	2,9.
				107,1.	104,2.	7,1.	4,2.
				111,4.	104,0.	11,4.	4,0.
				114,3.	102,6.	14,3.	2,6.
				120,0.	105,0.	20,0.	5,0.

Нанесем данные на график динамики :

Рис. 7.1. Исходные данные.

По графику динамики можно предположить линейную зависимость между показателями.

Для определения основной тенденции ряда произведем выравнивание ряда динамики с помощью уравнения прямой:

Y _{i теор} = а ₀ + а ₁ t_i ,.

где Y _{i теор} — рассчитанное выровненное значение производства электроэнергии, после подставления в уравнение значения t_i . Для нахождения а ₀ и а ₁ решим следующую систему.

Для решения системы составим таблицу:

Таблица 7.3.

Годы.	Объемы товарооборота, млн. руб.	t.	Y * t.	t 2 .	f (t).
		— 5.	— 3500.		695,71.
		— 3.	— 2160.		723,43.
		— 1.	— 750.		751,14.
					778,86.
					806,57.
					834,29.
Итого.

а ₀ = 4590 / 6 = 765 и а ₁ = 970 / 70 = 13,857 .

Таким образом, f (t) = 765 + 13,857

• t, для t= -5, -3, …, +3, +5, или f (t) = 668 + 27,714

— t, для t = 1, 2, 3, 4, 5, 6. а ₁ = 27,714 — показатель силы связи, т. е. за период 6 лет происходило увеличение товарооборота на 27,714 млн руб. ежегодно. Изобразим исходный и выровненный ряды Рис. 7.2. Исходный и выровненный ряды.

По графику видно, что линейная функция очень точно совпадает с исходными данными.

Практическая работа № 8

Имеются следующие данные о продаже картофеля на рынках города за 2 квартала (табл. 8.1).

Таблица 8.1.

Рынки.	2-й квартал.	4-й квартал.
	Количество, ц.	Модальная цена, руб. за 1 кг.	Количество, ц.	Модальная цена, руб. за 1 кг.
	120,0.	7,0.	180,0.	8,5.
	140,0.	8,0.	160,0.	8,1.
	140,0.	9,0.	180,0.	8,5.

На основе приведенных данных определите:

• а) индекс средних цен;
• б) индекс цен в постоянной структуре продаж;
• в) индекс влияния на среднюю цену структурных изменений (изменения удельного веса рынков) в продаже картофеля;
• г) изменение средних цен (в абсолютных величинах) в целом и за счет влияния отдельных факторов.

Решение: .

Индексом переменного состава в статистике называют отношение двух средних величин. Найдем индекс переменного состава по следующей формуле:

• где — индекс переменного состава;
• средняя цена картофеля в отчетном периоде;
• средняя цена картофеля в базисном периоде;

p ₁ — цена на картофель в отчетном периоде;

p ₀ — цена на картофель в базисном периоде;

q ₁ — физический объем проданного картофеля в отчетном периоде;

q ₀ — физический объем проданного картофеля в базисном периоде.

Индекс цен постоянного состава найдем как общий индекс цен по формуле:

где I _p — индекс цен.

Итак,.

Индекс влияния структурных сдвигов находится по формуле :

Взаимосвязь индексов выражается формулой:

= I _p

• I_{вл.стр.сдв.} .

Изменение средней себестоимости в целом :

• Д = ;
• Д = 8,377 — 8,05 = 0,327 руб.

за 1 кг Изменение средней цены под влиянием изменения цены по разным рынкам:

Д _{(Д p )} =

• I_p ;

Д _{(Д p )} = 8,05 * 1,047 — 8,05 = 0,378 руб. за 1 кг Изменение средней цены под влиянием изменения структуры продаж :

Д _(стр.) = —

• I_p .

Д _(стр.) = 8,377 — 8,05 * 1,047 = — 0,051 руб. за 1 кг.