Предмет и метод эконометрики

метки: Уравнение, Значение, Система, Модель, Коэффициент, Параметр, Переменный, Маленький

Тема 1. Предмет и метод эконометрики

1. Единое общепринятое определение эконометрики в настоящее время отсутствует. Сам термин «эконометрика» был введен в 1926 году норвежским ученым Р. Фришем и в дословном переводе означает «эконометрические измерения» .

Я считаю, что эконометрика — это набор математико-статистических методов, используемых в приложениях математики в экономике.

Суть эконометрики как научной дисциплины наиболее точно определяет, на мой взгляд, Р. Фриш: «Эконометрика есть единство трех составляющих — статистики, экономической теории и математики» .

Особенности экономических методов: Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических y _х минимальная, т. е. ? (y-y_х ) ² >min.

2. Конфлюэнтный анализ — совокупность методов математической статистики, предназначенных для анализа структурных зависимостей, отношений между количественными переменными, наблюдаемыми не в «чистом» виде, а со случайными ошибками измерения.

Путевой анализ является формой многопеременного анализа с использованием техники регрессии, которая позволяет одновременно исследовать отношения между несколькими переменными и их взаимодействие. Наиболее известным примером применения путевого анализа в социологии ‘является исследование относительного значения различных факторов, влияющих на профессиональные достижения в Соединенных Штатах.

3. Смысл экономического барометра: это создание эконометрической модели J=f (x₁ ,., x_p ) +G.

Наиболее распространенным выбором объясненной части случайной величины J является ее среднее значение — условное математическое ожидание М _х1 , _х2 , …х_р (J).

По своему смыслу объясненная часть — это ожидаемое значение зависимой переменной при заданных значениях объясняющих. Эконометрическая модель имеет вид: У=М_х (У) +G

4.

Анализ постоянных и переменных затрат

... относительность (условность) классификации затрат на переменные – постоянные; методы деления затрат на переменные - постоянные. Переменные затраты — затраты, абсолютная величина ... чтобы обеспечить наиболее эффективное производство, также они включают в себя расходы, которые необходимо ... предприятии. Целью курсовой работы является анализ постоянных и переменных затрат предприятия ЗАО «Петролеум». Для ...

у — себестоимость продукции, зависит от х (объема ее производства).

Связь обратно пропорциональна, т. е. чем больше объем производства (х), тем меньше себестоимость продукции.

а и b — величины независимые от х и у.

а и b — затраты, независящие от объема производства.

На величину себестоимости продукции влияют:

1. стоимость сырья;

2. транспортные расходы;

3. объем произведенной продукции.

Себестоимость продукции обратно пропорциональна объему производства. Факторы, а и b не влияют на величину себестоимости продукции. Причинные связи, влияющие на величину себестоимости продукции:

1. рост производительности труда;

2. рациональное использование материальных, трудовых и денежных средств;

3. снижение затрат на управление предприятием;

4. недопущение непроизводительных расходов и потерь.

Эти причинные связи находятся в линейной зависимости от себестоимости продукции.

эконометрика экономическое уравнение регрессия

Тема 2. Парная регрессия в экономических исследованиях

1. Уравнение связи двух переменных у=f (х).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: .

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

— полиномы разных степеней

— разносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

— степенная ;

— показательная ;

— экспоненциальная .

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров.

2. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от y _х теоретически минимальна, т. е. ? (y-y _x ) ² >min

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно а и b .

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

3. Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

Где — общая сумма квадратов отклонений;

— сумма квадратов отклонений;

— остаточная сумма квадратов отклонений.

4. По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков (табл.1.1)

Таблица 1.1

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % — у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб ., х
Северный	68,8	45,1
Северо-Западный	61,2	59,0
Западный	59,9	57,2
Юго-Западный	56,7	61,8
Южный	55,0	58,8
Юго-Восточный	54,3	47,2
Восточный	49,3	55,2

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

• а) линейной;
• б) степенной;
• в) показательной;
• г) равносторонней гиперболы.

Решение:

1а) Для расчета параметров, а и b линейной регрессии у=а+bх решаем систему нормальных уравнений относительно, а и b:

По исходным данным рассчитываем .

Таблица 1.2

	у	х	ух	х 2	у 2	y х	у-y х	А i
	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8	4,7
	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	— 1,5	2,7
	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	— 6,2	11,4
	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	— 8,5	17,2
Итого	405,2	384,3	22 162,34	21 338,41	23 685,76	405,2	0,0	56,7
Среднее значение	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	х	х	8,1
у	5,74	5,86	х	х	х	х	х	х
у 2	32,92	34,34	х	х	х	х	х	х

Уравнение регрессии: y=76,88 — 0,35х. С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35% -ных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результат на 12,7% объясняется вариацией фактора х.

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.

Рассчитаем F — критерий:

поскольку, следует рассмотреть F ₁ .

Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу, Но о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

1б) Построению степенной модели у=ах ^b предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где Y=lg, X=lg, C=lga.

Для расчетов используем данные таблицы 1.3

Таблица 1.3

	Y	X	YX	Y 2	X 2	y x	y-y x	(y-y x ) 2	A i
	1,8376	1,6542	3,0398	3,3768	2,7364	61,0	7,8	60,8	11,3
	1,7868	1,7709	3,1642	3, 1927	3,1361	56,3	4,9	24,0	8,0
	1,7774	1,7574	3,1236	3,1592	3,0885	56,8	3,1	9,6	5,2
	1,7536	1,7910	3,1407	3,0751	3, 2077	55,5	1,2	1,4	2,1
	1,7404	1,7694	3,0795	3,0290	3,1308	56,3	— 1,3	1,7	2,4
	1,7348	1,6739	2,9039	3,0095	2,8019	60,2	— 5,9	34,8	10,9
	1,6928	1,7419	2,9487	2,8656	3,0342	57,4	— 8,1	65,6	16,4
Итого	12,3234	12,1587	21,4003	21,7078	21,1355	403,5	1,7	197,9	56,3
Среднее значение	1,7605	1,7370	3,0572	3,1011	3,0194	х	х	28,27	8,0
у	0,0425	0,0484	х	х	х	х	х	Х	х
у 2	0,0018	0,0023	х	х	х	х	х	Х	х

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата y _х . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи — индекс корреляции с_ху и среднюю ошибку аппроксимации В_i :

В _i =8,0%

R ² =0,141.

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

1в) Построению уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные таблицы 1.4

Таблица 1.4

	Y	x	Yx	Y 2	X 2	y x	y-y x	(y-y x ) 2	A i
	1,8376	45,1	82,8758	3,3768	2034,01	60,7	8,1	65,61	11,8
	1,7868	59,0	105,4212	3, 1927	3481,00	56,4	4,8	23,04	7,8
	1,7774	57,2	101,6673	3,1592	3271,84	56,9	3,0	9,00	5,0
	1,7536	61,8	108,3725	3,0751	3819,24	55,5	1,2	1,44	2,1
	1,7404	58,8	102,3355	3,0290	3457,44	56,4	— 1,4	1,96	2,5
	1,7348	47,2	81,8826	3,0095	2227,84	60,0	— 5,7	32,49	10,5
	1,6928	55,2	93,4426	2,8656	3047,04	57,5	— 8,2	67,24	16,6
Итого	12,3234	384,3	675,9974	21,7078	21 338,41	403,4	— 1,8	200,78	56,3
Среднее значение	1,7605	54,9	96,5711	3,1011	3048,34	х	х	28,68	8,0
у	0,0425	5,86	х	х	Х	х	х	х	х
у 2	0,0018	34,3396	х	х	Х	х	х	х	х

Значения параметров регрессии, А и В составили:

Получено линейное уравнение:

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

Тесноту связи оценим через индекс корреляции с _ху :

Связь умеренная.

Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

1г) Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене z=1/х. Тогда .

Для расчетов используем данные таблицы 1.5

Таблица 1.5

	y	z	yz	z 2	y 2	y x	y-y x	(y-y x ) 2	A i
	68,8	0,0222	1,5255	0,492	4733,44	61,8	7,0	49,00	10,2
	61,2	0,0169	1,0373	0,287	3745,44	56,3	4,9	24,01	8,0
	59,9	0,0175	1,0472	0,306	3588,01	56,9	3,0	9,00	5,0
	56,7	0,0162	0,9175	0,262	3214,89	55,5	1,2	1,44	2,1
		0,0170	0,9354	0,289	3025,00	56,4	— 1,4	1,96	2,5
	54,3	0,0212	1,1504	0,449	2948,49	60,8	— 6,5	42,25	12,0
	49,3	0,0181	0,8931	0,328	2430,49	57,5	— 8,2	67,24	16,6
Итого	405,2	0,1291	7,5064	0,2 413	23 685,76	405,2	0,0	194,90	56,5
Среднее значение	57,9	0,0184	1,0723	0,345	3383,68	х	х	27,84	8,1
у	5,74	0,2 145	х	х	Х	х	х	х	х
у 2	32,9476	0,5	х	х	Х	х	х	х	х

Значения параметров регрессии, а и b составили:

Получено уравнение:

Индекс корреляции:

Коэффициент детерминации:

Оценку качества построенной модели даст коэффициент детерминации:, Вариация результата на 15,6% объясняется вариацией фактора х.

а) — функция линейна по параметрам;

• б) — функция линейна по параметрам;
• в) — функция линейна по параметрам;
• г) — нелинейна ни по переменным, ни по параметрам;
• д) — нелинейна ни по переменным, ни по параметрам;
• е) — линейна по параметрам;
• ж) — линейна по переменным.

Тема 3. Регрессионные модели с переменной структурой

1. МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических y _х минимальная, т. е.

2. Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной.

Для каждого значения фактора х _j остатки е_i имеют одинаковую дисперсию.

3. частное уравнение регрессии для домов типа «хрущевка» .

4. ,

Таблица 1.6

Районы города	x i	y i	y x	y-y x	(y-y x ) 2
1. Павловский	3,3	4,4	— 0,6776	5,0776	25,7820
2. Кронштадт	6,2	8,1	2,7386	5,3614	28,7446
3. Ломоносовский	8,1	12,9	4,9768	7,9232	62,7771
4. Курортный	18,3	20,8	16,9924	3,8076	14,4978
5. Петродворец	20,2	15,5	19,2306	— 3,7306	13,9173
6. Пушкинский	23,1	28,8	22,6468	6,1532	37,8619
7. Красносельский	39,0	37,5	41,377	— 3,877
8. Приморский	49,1	48,7	53,2748	— 4,5748
9. Колпинский	60,1	68,6	66,2328	2,3672
10. Фрунзенский	74,2	104,6	82,8426	21,1574
11. Красногвардейск.	79,0	90,5	88,497	2,003
12. Василеостровск.	95,0	88,3	107,345	— 19,045
13. Невский	106,0	132,4	120,303	12,097
14. Петроградский	112,2	122,0	127,6066	— 5,6066
15. Калининский	115,0	99,1	130,905	— 31,805	1011,5580
16. Выборгский	125,1	114,2	142,8082	— 28,8028	829,6013
17. Кировский	132,0	150,6	150,931	— 0,331	0,10 956
18. Московский	149,0	156,1	170,957	— 14,857	220,7304
19. Адмиралтейский	157,0	209,5	180,381	29,119	847,91 616
20. Центральный	282,0	342,9	327,631	15,269	233,1424
Итого		1855,5	1856,9942
Среднее значение	82,695	92,775
у	92,84 971	104,72 395

Отклонение фактических значений от теоретических минимально.

F2m=6

F _факт . ?0,06 L=0,05

F _табл . = 0,05: 20=0,6F_факт < F_{табл .}

Тема 4. Обобщенный метод наименьших квадратов

1. В классе линейных несмещенных оценок вектора в для обобщений регрессионной модели оценка имеет наименьшую ковариационную матрицу.

Х — неслучайная матрица

Щ положительно определенная матрица

р — число объясняющих переменных

n — число наблюдений

• обобщенная линейная модель множественной регрессии.

Сравнивая обобщенную модель с классической видим, что она отличается от классической только видом ковариационной матрицы: для обобщенной имеем: ?е=Щ.

В отличие от классической, в обобщенной модели ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными.

В этом состоит суть обобщения регрессионной модели.

Оценка b* обобщенного метода наименьших квадратов для параметра в при известной матрице Щ совпадает с его оценкой, полученной методом максимального правдоподобия.

Оценка b* обобщенного метода наименьших квадратов может быть определена как точка минимума обобщенного критерия .

2. Обобщенный метод наименьших квадратов для модели с гетероскедастичностью, когда ковариационная матрица возмущенной? е=Щ есть диагональная матрица, называется взвешенным методом наименьших квадратов. Применяя этот метод, минимизируем:

» Взвешивая» каждый остаток с помощью коэффициента 1/у _i , мы добиваемся равномерного вклада остатков в общую сумму, что приводит в конечном счете к получению наиболее эффектных оценок параметров модели.

Оценка параметров регрессионной модели:

Сначала применить обычный метод наименьших квадратов, затем найти регрессию квадратов остатков на квадратичные функции регрессоров, т. е. найти уравнение аргументами которой являются квадраты значений регрессоров и их попарные произведения:

где — случайный член.

После чего следует вычислить прогнозные значения по полученному уравнению регрессии и получить набор весов:. Затем надо ввести новые переменные.

и найти уравнение: .

Полученная при этом оценка b* и есть оценка взвешенного метода наименьших квадратов исходного уравнения .

Тема 5. Нелинейные модели регрессии

Соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, т.к. при этом могут возникнуть неоправданно большие ошибки.

Нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства — трудом, капиталом и т. п. ), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и другие.

Для оценки параметров нелинейных моделей используются 2 подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели. Исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения. Когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается, применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Виды уравнений регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по параметрам:

1. парабола II порядка

2. кубическая парабола

3. показательная

4. экспонециальная

5. модифицированная экспонента

6. кривая Гомперца

7. логическая кривая

8. логарифмическая парабола

9. гиперболическая.

2. Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле:

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

где — уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

вi — стандартизованные коэффициенты регрессии.

Связь коэффициентов множественной регрессии b _i со стандартизованными коэффициентами в_i описывается соотношением:

3. — парабола второго порядка, нелинейная по объясняющим переменным.

6 — 2х=0

х=3 тыс. руб., потребление товара, А — максимальное, величина потребления товара, А с увеличением дохода семьи уменьшается.

Таблица 7

Ц-на на 1 га	Урожайность, ц-на 1 га, у
	6,1
	9,0
	10,2
	12,3
	13,1

1 — регрессия нелинейная по объясняющим переменным, полином второй степени;

2 — регрессия, нелинейная по оцениваемым параметрам, степенная.

I. ;

II.

2-ое уравнение регрессии лучше описывает зависимость урожайности озимой пшеницы от количества внесенных минеральных удобрений.

Тема 6. Множественная регрессия в экономических исследованиях

1.

у — зависимая переменная

х ₁ , х₂ , х₃ …х_р — независимые переменные (факторы)

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

• линейная ;
• степенная ;

экспонента — y=l ^{a+b1+x1+ . bpxp+е}

гипербола ;

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

где — стандартизованные переменные

B _i — стандартизованные коэффициенты регрессии.

2. Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе можно записать в виде:

При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

Дr определитель матрицы парных коэффициентов корреляции.

Дr ₁ определитель матрицы межфакторной корреляции.

Признак	Среднее значение	Среднее квадратич. отклонение	линейный коэффициент парной корреляции
среднедневной душевой доход у	86,8	11,4	;
среднедневная з/плата одного работающего, руб.	54,9	5,86
средний возраст безработного, лет, х 2	33,5	0,58

Решение:

Линейное уравнение имеет вид:

Применим метод стандартизации переменных и построим уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет в — коэффициентов:

Рассчитываем b ₁ и b₂ :

;

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов r _yxj и в_j :

Зависимость у от х₁ и х₂ характеризуется как тесная, в которой 72% вариации среднего душевого дохода определяется вариацией учетных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы составляют 28% от общей вариации у .

Таблица 5

Признак	Среднее значение	Среднеквадрат. отклонение	Коэффициент парной корреляции
у	12,0	2,0
х 1	4,3	0,5
х 2	10,0	1,8

3. Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

Искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет в-коэффициентов выполним по формулам:

Рассчитываем b ₁ и b₂ :

Уравнение множественной регрессии:

Оно показывает, что при увеличении х ₁ на 1 кВт/ч на одного рабочего (при неизменном х₂ ) У увеличивается в среднем на 0,54 т. При увеличении х₂ (на 1 тыс. ед. произведенной продукции), потребление материалов У (Т) увеличивается в среднем на 0,84 т.

Коэффициент множественной корреляции:

Зависимость у от х₁ и х₂ характеризуется как тесная, в которой 70% вариации потребления материалов определяются вариацией учтенных в модели факторов х₁ и х₂ .

Тема 7. Моделирование одномерных временных рядов

1. Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (Е) компонентов.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, — аддитивные модели, как произведение — мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид:

Мультипликативная модель:

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1) выравнивание ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты S;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т+Е) или в мультипликативной (Т х Е) модели;

4) аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т х Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т х S)

6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок

2. Автокорреляция уровней ряда — это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

• где;
• коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка.

где

• коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

3. Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Таблица 6

Показатель
Расходы на товар А, руб.
Доход на 1 члена семьи, % 1997 г.

Решение:

1. Пусть расходы на товар, А будет у, а доходы одного члена семьи — х. Ежегодные абсолютные приросты:

Расчеты оформим в виде таблицы:

y t	Дy t	x t	Дx t
	;		;

Значения Ду не имеют четко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда. Аналогичный вывод можно сделать и по ряду х: абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.

Модель имеет вид:

Для определения параметров, а и b применяется МНК. Система нормальных уравнений следующая:

Решая эту систему, получим:

а=2,565

b=0,565

Модель имеет вид:

Включим фактор времени:

Применяя МНК, получим систему нормальных уравнений:

t	Y	x	yx	y t	x t	x 2	t 2

Решая, получаем:

• а=-5,42;
• b=0,322;
• с=3,516

Уравнение регрессии имеет вид:

Параметр b=0,322 фиксирует силу связи у и х. Его величина означает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1% -ный пункт при условии неизменной тенденции расходы на товар, А возрастают в среднем на 0,322 руб.

Параметр с=3,516 характеризует среднегодовой абсолютный прирост расходов на товар, А под воздействием прочих факторов при условии неизменного дохода.

5.

Таблица 7

Год	Выпуск продукции, млн. долл	Год	Выпуск продукции, млн. долл.

1. Для определения параметров линейного тренда по методу наименьших квадратов используется статистическая функция ЛИНЕЙН, для определения экспоненциального тренда — ЛГРФПРИБЛ [14, «https:// «].

В качестве зависимой переменной выступает время (t=1,2,… n).

Результат вычисления функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ.

Уравнения линейного и экспоненциального тренда

2. Построение графиков осуществляется с помощью Мастера диаграмм Сравним значения R2 по разным уровням трендов:

экспоненциальный

линейный Исходные данные лучше всего описывает экспоненциальный тренд.

В примере для расчета прогнозных значений следует использовать экспоненциальное уравнение.

Тема 8. Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений

1. При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени, где — уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Название функции	Описание функции
1. Линейная
2. Парабола второго ряда
3. Кубическая парабола
4. Показательная
5. Экспоненциальная
6. Модифицированная экспонента
7. Кривая Гомперца
8. Гиперболическая

Применяется для выравнивания линейная функция, если любые три равностоящие уровня имеют нулевую вторую разность.

2. Критерием отбора наилучшей формы тренда является R ² — коэффициент детерминации, его наибольшее значение.

4. — линейное уравнение тренда

t — порядковый номер периодов;

b ₀ и b₁ — рассчитываем по МНК Уровень, находящийся в середине ряда принимается за условное начало отсчета времени.

Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1; — 2; — 3; и т. д. ).

При условии система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

откуда

Используя итоги графиков, 2,4,5 определим параметры уравнения прямой:

Таблица 8

Год	Цена y i	t i	у i ti
	296,6	— 7	— 2076,2
	363,2	— 6	— 2179,2
	272,4	— 5	— 1362
	334,3	— 4	— 1337,2
	482,8	— 3	— 1448,4
	276,8	— 2	— 553,6
	217,4	— 1	— 217,4
	229,8
	241,3		241,3
	253,8		507,6
	265,7		797,1
	277,6		110,4
	289,8
	301,9		1811,4
	314,3		2200,1
Итого	4417,7		— 1057,1

Рассчитаем для 1983 г.:

Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики м. б. проверена следующим образом:

(итоги граф 2 и 6).

Целесообразность моделирования: можно подсчитать примерную цену на рис и на несколько лет вперед (составить прогноз).

Прогнозирование на основе развития изучаемого процесса.

Тема 9. Системы экономических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных уравнений).

Различают несколько видов систем уравнений:

система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

• Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

система рекурсивных уравнений — когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

• Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

система взаимосвязанных (совместных) уравнений — когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других — в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные — взаимосвязанные переменные, которые определяются внутри модели (системы) у .

Экзогенные переменные — независимые переменные, которые определяются вне системы х .

Предопределенные переменные — экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты а и b при переменных — структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы — приведенная форма модели:

где д — коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации — выполнение счетного правила:

• D+1=Н — уравнение идентифицируемо;
• D+1<�Н — уравнение неидентифицируемо;

• D+1>Н — уравнение сверхиндентифицируемо,

где Н — число эндогенных переменных в уравнении,

D — число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации — определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Оценить следующую структурную модель на идентификацию уравнений.

Исходя из приведенной формы модели уравнений:

Найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

1. Модель имеет три эндогенные (у ₁ , у₂ , у₃ ) и три экзогенные (х₁ , х₂ , х₃ ) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение:

Н: эндогенных переменных — 2 (у ₁ , у₃ )

отсутствующих экзогенных — 1 (х ₂ ).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у ₂ и х₂ . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	у 2	х 2
Второе	— 1	а 22
Третье	b 32

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных — 3 (у ₁ , у₂ , у₃ )

отсутствующих экзогенных — 2 (х ₁ , х₃ ).

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют х ₁ и х₃ . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	х 1	х 3
Первое	а 11	а 13
Третье	а 31	а 33

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных — 2 (у ₂ , у₃ ),

отсутствующих экзогенных — 1 (х ₂ ).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют у ₁ и х₂ . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	у 1	х 2
Первое	— 1
Второе	b 21	а 22

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х ₂ (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

Данное выражение содержит переменные у ₃ , х₁ и х₃ , которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ).

Подставим полученное выражение х₂ в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

• первое уравнение СФМ;

2) во втором уравнении СФМ нет переменных х ₁ и х₃ . Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим х1 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует х ₃ , которого нет в СФМ.

Выразим х3 из третьего уравнения ПФМ:

Подставив его в выражение х ₁ :

Второй этап: аналогично, чтобы выразить х ₃ через искомые у₁ , у₃ и х₂ , заменим в выражении х₃ значение х₁ на полученное из первого уравнения ПФМ:

Следовательно:

Подставим полученные х ₁ и х₃ во второе уравнение ПФМ:

• второе уравнение СФМ.

Это уравнение можно получить из ПФМ иным путем.

Суммируя все уравнения, получим:

Далее из первого и второго уравнений ПФМ исключим х ₁ , домножив первое уравнение на 3, а второе — на (-2) и просуммировав их:

Затем аналогичным путем из полученных уравнений исключаем х ₃ , а именно:

• 26

____________________________________________

3) из второго уравнения ПФМ выразим х ₂ , так как его нет в третьем уравнении СФМ:

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

• третье уравнение СФМ.

Таким образом СФМ примет вид:

Тема 10. Оценивание параметров структурной модели косвенным методом наименьших квадратов

Приведенная форма модели — это система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы:

где д — коэффициенты приведенной формы модели.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных — двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
• путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Пример:

Имеются статистические данные за 1998 — 2002гг., характеризующие потребление мяса в Австралии.

Год	Годовое потребление свинины на душу населения, фунты, у 1	Оптовая цена за фунт, долл., у 2	Доход на душа населения, долл., х 1	Расходы по обработке мяса, % к цене, х 2
		5б0
		4,0
		4,2
		5,0
		3,8

Требуется:

Построить модель вида рассчитав соответствующие структурные коэффициенты.

Система одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными имеет вид:

В каждом уравнении две эндогенные и одна отсутствующая экзогенная переменная из имеющихся в системе. Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2=1+1, это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы.

Для определения параметров такой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов.

С этой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

в которой коэффициенты при х определяются методом наименьших квадратов.

Для нахождения значений д ₁₁ и д₁₂ запишем систему нормальных уравнений:

При решении предполагается, что х и у выражены через отклонения от средних уровней, т. е. матрица исходных данных составит:

у ₁ у₂ х₁ х₂

30,6−2003

1−0,4−200−1

2−0, 20−1

10,61 006

3−0,6300−7

________________________________________

?00,000

Применительно к ней необходимые суммы оказываются следующими:

Система нормальных уравнений составит:

Решая ее, получим:

д ₁₁ =0,609; д₁₂ =-0,26 481.

Итак, имеем

Аналогично строим систему нормальных уравнений для определения коэффициента д ₂₁ и д₂₂ :

Следовательно, Тогда второе уравнение примет вид Из приведенной формы модели определяем коэффициенты структурной модели:

Итак, структурная форма модели имеет вид:

Тема 11. Оценивание параметров структурной модели двухшаговым и трехшаговым методами наименьших квадратов

1. Параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько различных его оценок.

2. В приведенной форме уравнения:

Три коэффициента не могут быть найдены из 2-х уравнений: в ₁ ; в₂ ; в₃ (коэффициенты).

Это значит, существует бесконечное множество их возможных значений.

3. Изучается модель вида

Информация за девять лет о приросте всех показателей дана в таблице 12.

Таблица 12.

Год	Д	у -1	у	с	Год	Д	у -1	у	с
	— 6,8	46,7	3,1	7,4		44,7	17,8	37,2	8,6
	22,4	3,1	22,8	30,4		23,1	37,2	35,7	30,0
	— 17,3	22,8	7,8	1,3		51,2	35,7	46,6	31,4
	12,0	7,8	21,4	8,7		32,3	46,6	56,0	39,1
	5,9	21,4	17,8	25,8		167,5	239,1	248,4	182,7

Система приведенных уравнений:

Решение:

В модели две эндогенные переменные (у и с) и две экзогенные переменные (D и у _-1 ).

Для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, т.к. в нем на параметры при С и D наложено ограничение: они должны быть равны.

В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1+1=2; D+1>Н это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, > система сверхидентифицирована.

Рассчитайте параметры первого уравнения структурной модели.

Используем двухшаговый метод наименьших квадратов. Шаг 1.

Определим теоретические значения эндогенной переменной С. В приведенное уравнение

подставим D и у _-1 (из условия).

C ₁ =15,8C₂ =16,8C₃ =7,4C₄ =14,3C₅ =15,0

C ₆ =27,4C₇ =24,0C₈ =33,2C₉ =29,0

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические C и рассчитываем новую переменную C+D.

Год	D	C	C+D	Год	D	C	C+D
	— 6,8	15,8	9,0		44,7	27,4	72,1
	22,4	16,8	39,2		23,1	24,0	47,1
	— 17,3	7,4	— 9,9		51,2	33,2	84,4
	12,0	14,3	26,3		32,3	29,0	61,3
	5,9	15,0	20,9		167,5	182,9	350,4

К сверхидентифицированному уравнению применим МНК. Обозначим новую переменную C+D через Z. Решаем уравнение: .

Система нормальных уравнений составит:

а ₁ =7,678; b₁ =0,512

Первое уравнение структурной модели:

4. Рассматривается следующая модель:

• (функция потребления)
• (функция инвестиций)
• (функция денежного рынка)
• (тождество дохода) где С _t — расходы на потребление в период t;

У _t — совокупный доход в период t;

J _t — инвестиции в период t;

r _t — процентная ставка в период t;

М _t — денежная масса в период t;

G _t — государственные расходы в период t;

G _t-1 — расходы на потребление в период t-1;

J _t-1 — инвестиции в период t-1;

U ₁ U₂ U₃ — случайные ошибки.

Решение:

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает 4 эндогенные переменные () и 4 предопределенные М _t и G_t и две лаговые эндогенные переменные — С_t-1 и J_t-1 .

Необходимое условие идентификации для уравнений модели.

1 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (С _t и J_t ) и одну предопределенную переменную (С_t-1 ).

Число предопределенных переменных не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>1. Уравнение сверхидентифицировано.

2 уравнение.

Уравнение 2 включает две эндогенные переменные (J _t и r_t ) и не включает три предопределенные переменные. Как и 1 уравнение, оно сверхидентифицировано.

3 уравнение.

Уравнение 3 тоже включает две эндогенные переменные (Y _t и r_t ) и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

4 уравнение.

Уравнение 4 представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

	C t	Y t	C t-1	J t	r t	J t-1	M t	G t
1 уравнение	— 1	b 11	b 12
2 уравнение				— 1	b 12	b 22
3 уравнение		b 31			— 1		b 32
4 уравнение		— 1

Достаточное условие идентификации: определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минут 1, т. е. 4−1=3.

1 уравнение. Матрица коэффициентов при переменных не входящих в уравнение, имеет вид:

1b21b2200

А0−10b320

Ранг равен 3, т.к. определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю:

• 1b ₂₁ 0

Det A*=0−10 70

Достаточное условие идентификации для первого уравнения.

2 уравнение. Матрица коэффициентов, не входящих в уравнение:

1b ₁₁ b₁₂ 00

А=0b ₃₁ 0b₃₂ 0

1−1001

Ранг равен 3.

• 100

Det A*=0b ₃₂ 0 0

Достаточное условие идентификации для 2-ого уравнения выполняется.

Все уравнения модели сверхидентифицированы.

Применим двухшаговый МНК.

Шаг 1. Приведенная форма модели в общем виде:

V ₁ , V₂ , V₃ , V₄ — случайные ошибки.

Шаг 2

В структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями:

где

где

где

Применяя обычный МНК, определим структурные параметры a ₁ , b₁₁ , b₁₂ , a₂ , b₂₁ , b₂₂ , a₃ , b₃₁ и b₃₂ .

1. Доугерти К.

Введение

в эконометрику. — М.: Финансы и статистика, 2009.

Н. Н. Елисеевой, Ю. Н. Иванова, В. М. Основы, А. М. Методы, Р. А. Теория