Динамические эконометрические модели

  • это модели, которые в данный момент времени учитывают значения входящих в неё переменных, относящихся к текущему и предыдущему моментам времени.

Все ДЭМ условно разделяются на 2 вида:

1. Модели, в которых лаговые значения переменных непосредственно включены в модель;

2. Модели, в которых включены переменные, характеризующие желаемый или ожидаемый уровень результативного признака или одного из факторов в момент t.

Модели, в которых лаговые значения переменных непосредственно включены в модель делятся на 2 вида:

1. Модели с распределенным лагом — это модели, в которых наряду с текущими значениями факторных переменных содержатся их лаговые значения:

y t = a0 + b0 * xt +b1 * xt-1 + … + be * xt-e +Et ,

где величину е — характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат называют лагом.

2. Авторегрессионные модели — модели, в которых лаговые значения результата (эндогенные переменные) входят в модель в качестве факторных переменных.

y t = a + b0 * xt + b1 * yt-1 + … + be * yt-e + Et ,

Временная лаговая переменная возникает вследствие действия многих факторов, которые формируют изменения результативного признака в прошлые моменты времени. Например, на выручку от реализации текущего периода оказывают влияние расходы на рекламу в предыдущие моменты времени.

Модели, в которые включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результативного признака или одного из факторов в момент времени t.

Этот уровень считается неизвестным и определяется с учетом информации, которой располагают в предыдущий момент времени (t-1).

Данные модели делятся на 2 вида:

1. Модели адаптивных ожиданий — модели, в которых учитывается ожидаемое значение факторного признака x t +1 . Например, ожидаемое в период (t+1) значение ЗП влияет на уровень безработицы в текущий период t.

2. Модели неполной корректировки — это модели, в которых учитывается ожидаемое значение результативного признака y t . Например, фактический объем прибыли xt влияет на величину желаемого объема дивидендов yt .

Особенности построения ДЭМ заключаются:

6 стр., 2823 слов

Эконометрическая модель

... предыдущих факторных переменных Х); - модели авторегрессии (объясняют поведение результативного признака в зависимости от предыдущих значений результативных переменных; модели ожиданий (объясняют поведение результативного признака в зависимости от будущих значений факторных переменных). В регрессионных моделях с одним уравнением результативный признак представляется ...

1. В выборе определения структуры временного лага;

2. В использовании специальных методов параметризации вследствие нарушения предпосылок МНК;

3. В наличии взаимосвязей между двумя динамическими моделями. И в некоторых случаях нужно осуществить переход от типа модели к другому.

1.1 Модели с распределенным лагом

y t = a + b0 * xt + b1 * xt -1 +…+ be * xt e + Et (1)

где b 0 — краткосрочный мультипликатор, он характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении x1 на 1 единицу в момент t без учета лаговых переменных.

В момент (t+1) совокупное воздействие переменной x t на результативный показатель yt составит: (b0 +b1 ).

В момент (t+2) соответственно (b0 +b1 +b2 ) и т.д.

, (R<b) — промежуточный мультипликатор

b= — долгосрочный мультипликатор, который характеризует изменение д воздействием единичного изменения х в каждом периоде i=0.

Относительными коэффициентами модели с распределенным лагом называются величины

в i = , i=0,e (2)

Если b i имеют одинаковые знаки, то вi >0 и =>

Таким образом, в i является весом для соответствующих значений bi и вi измеряют долю общего изменения результативного признака в момент (t+i).

Средним лагом называется лаг, который находится как средняя арифметическая взвешенная:

e = (3)

Средний лаг представляет собой средний период, в течение которого изменяется эндогенная переменная под воздействием экзогенной переменной в данный момент времени t. Чем выше величина среднего лага, тем более длительный период необходим для эндогенного фактора на изменение экзогенного фактора.

Медианный лаг — это лаг, для которого выполняется условие:

приблизительно 0,5 (4)

Медианное значение лага предполагает расчет периода, в течении которого будет реализовано половина общего воздействия экзогенной переменной на эндогенную (х на у).

Пример: по результатам изучения зависимости объема продаж за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом:

y t = 0,67+4,5xt +3xt-1 +1,5xt-2 +0,5xt-3

b 0 = 4,5 — краткосрочный мультипликатор — он показывает, что увеличение расходов на рекламу на 1 млн.р. приведет к увеличению объемов продаж на 4,5 млн.р.

b = =4,5 +3+1,5+0,5=9,5

долгосрочный мультипликатор, который показывает, что в долгосрочной перспективе (через 3 месяца) увеличение расходов на рекламу на 1 млн.р. в настоящий момент времени приведет к общему росту объем продаж на 9,5 млн.

Относительные коэффициенты регрессии:

в 0 = 4,5/9,5 = 0,4737 в1 = 3/9,5 = 0,3158 в2 = 1,5/9,5 = 0,1579 в0 = 0,5/9,5 = 0,052

12 стр., 5736 слов

Классическая и кейнсианская модель макроэкономического равновесия

... Цель курсовой работы Исходя из поставленной цели, в работе определены следующие задачи: Дать характеристику макроэкономического равновесия. Раскрыть теоретические аспекты равновесия в макроэкономике. Рассмотреть методологические основы классической модели макроэкономического равновесия Рассмотреть методологические основы кейнсианской теории. ...

Следовательно: 47,37 % общего увеличения объема продаж, вызванного ростом затрат на рекламу, происходит в текущий момент времени:

31,58% — в момент (t+1)

15,79% — в момент (t+2)

5,2% — в момент (t+1)

е=0,047+1*0,31+2*0,157+3*0,052=0,7876

Небольшая величина е<1 говорит о том, что большая часть эффекта роста затрат на рекламу проявляется сразу же.

Сила воздействия лаговых и текущих значений экзогенного признака — различна. С помощью коэффициентов регрессии количественно измеряют силу связи между эндогенной и экзогенными переменными, которые относятся к разным моментам времени. Если построить график зависимости этих коэффициентов от величины лага и получить графическое изображение структуры лага или распределение во времени воздействия факторной переменной на результат.

1.2 Основные случаи структуры лага

Применение обычного МНК к таким моделям в большинстве случаев затруднено по следующим причинам:

1) Текущие лаговые значения независимой переменной, как привило, тесно связаны (мультиколлинеарность).

2) При большой величине лага снижается число наблюдений, по которым строится модель и увеличивается число ее факторных признаков, что ведет к потере степеней свободы в модели.

3) В моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков.

Все это приводит к тому, что получаются неустойчивые и неэффективные оценки параметров, поэтому в большинстве случаев предположение о структуре лага основано на рассуждениях экономического характера и проведенных ранее экономических исследованиях.

Лаги Алмон — лаги, которые имеют структуру, описываемую с помощью полиномов различных порядков (степень полинома R меньше максимальной величины лага e)

В этом случае зависимость b i от величины лага в форме полинома R можно записать:

b i = c0 + c1 *i + c2 *i2 +…+cR *iR (5)

Тогда коэффициенты модели (1) b i можно записать :

b 0 = c0

b 1 = c0 +c1 +c2 +…+cR

b 2 = c0 +2c1 +4c2 +…+2R cR

……………………

b e = c0 +e*c1 +e2 *c2 +…+eR *cR

Подставим (6) в (1)

y t = a + с0 * xt + (c0 +c1 +c2 +…+cR ) * xt -1 + (c0 +2c1 +4c2 +…+2R cR )+ be * xt -2 +…+ (c0 +e*c1 +e2 *c2 +…+eR *cR ) *xt e + Et

y t = a + с0 (xt +xt -1 +…+xt e )+c1 (xt -1 +xt -2 +…+xt e )+c2 (xt -1 +2xt -2 +…+2xt e )+…+c2 (xt -1 +2xt -2 +…+e*xt e )+Et

20 стр., 9545 слов

Стохастические модели общего равновесия оценивание динамических ...

... Модель может содержать (и обычно содержит) стохастическую составляющую, которая заключается в описании всех структурных шоков в экономике и каким образом они воздействуют на различные переменные. Построение теоретической макроэкономической модели ... между собой параметрами. Вопрос о том, когда DSGE модель может быть ... наконец, эконометрическое оценивание. В этом эссе мы обсудим только последний шаг, ...

z i — коэффициенты при c1 ;

z 0 = ; z1 = ; zR =

Таким образом, модель примет вид:

y t = a+c0 *z0 +c1 *z1 +…+cR *zR +ER (7)

Алгоритмы применения метода Алмон:

1) Определение максимальной величины лага е

2) Определение степени полинома R, описывающий структуру лага (R<е)

3) По соотношениям рассчитать значения z 0 , z1 ,….,zR .

4) Определение параметров уровня линейной регрессии (7) с помощью обычного МНК. (необходима проверка z i на мультиколлинеарность)

С помощью соотношения (6) рассчитываем параметры модели.

  • Для определения максимальной величины лага е можно использовать:
  • Измерение тесноты связи между результатом и лаговыми значениями;
  • Построение нескольких уровней регрессии при разных е и выбор лучшего;
  • Априорную информацию о величине лага.

Для определения степени полинома R можно использовать следующие рекомендации:

Полином n-ой степени должен быть на единицу больше числа экстремумов в структура лага, если эмпирических данных о структуре лага нет, то степень полинома R определяется по наилучшей модели сравнительной оценкой уровней, построенных для различных значений n. На практике обычно ограничиваются полиномами 2-3-го порядков.

Допустим для описания некоторого процесса используется модель с бесконечным лагом:

(8)

Параметры данной модели обычным МНК или с помощью иных стандартных математических методов определить нельзя поскольку модель включает бесконечное число факторных переменных. Поэтому нужны допущения относительно структуры модели.

Рассмотрим случай, когда воздействие лаговых переменных уменьшается с увеличением лага в геометрической прогрессии.

Пусть лаговые воздействия описываются соотношением:

1)

2) означает, что с увеличением лага значения параметров модели убывают в геометрической прогрессии. Чем ближе к 0 тем выше темп снижения воздействия.

Подставим (9) в (8):

(10)

Рассмотрим для периода (t-1) и умножим полученное выражение на слева и справа:

(11)

Вычтем из выражения (3) выражение (4), и получим:

(12)

Полученная модель является двух факторной моделью регрессии (авторегрессии).

Определив её параметры , затем можно рассчитать параметры исходной модели (8).

Применение обычного МНК к оценке параметров модели (12) приведет к получению смещенных и несостоятельных оценок. Поэтому вместо МНК может быть применены инструментальные переменные или ММП.

Геометрическая структура лага позволяет определить величину среднего и медианного лага в модели Койка.

Средний лаг:

Величина интерпретируется как скорость, с которой происходит адаптация результата во времени к изменению факторных признаков.

Медианный лаг:

В общем виде модель авторегрессии (13) выглядит следующим образом:

  • промежуточный мультипликатор, который определяет общее

абсолютное изменение результата у в момент времени (t+1)

это долгосрочный мультипликатор.

Если — рынок стабильный.

Одним из возможных методов оценивания параметров модели (13) является метод инструментальных переменных.

Суть метода состоит в том, что вместо лаговой зависимой переменной , для которой нарушаются предпосылки МНК об отсутствии автокорреляции и гомоскедастичности остатков используется другая переменная, называемая инструментальной.

Инструментальная переменная должна обладать следующими свойствами:

1) Должна быть тесно коррелированна с лаговой переменной

2) Не должна коррелировать с остатками

Тогда от модели (13) перейдем к модели (14):

(14)

В качестве берут

(обычная регрессия)

Далее применяют МНК к (13):

(15)

Таким образом, используют в качестве инструментальной переменной оценки , исходя из регрессии . Модель авторегресии (13) заменяется на модель с распределенным лагом (15).

Замечание:

Метод инструментальных переменных часто приводит к появлению мультиколлиниарности факторов в модели. Эту проблему в определенных случаях разрешают путем включения в модель с инструментальными переменными фактора времени.

Критерий Дарбина-Уотсона для модели авторегресии не применим, так как она содержит в качестве объясняющих переменных лаговые значения зависимой переменной.

В этом случае критерий Дарбина-Уотсона может принимать значение близкое к 2, как при наличии, так и при отсутствии автокорреляции остатков.

В этом случае Дарбин предложил применять h — статистику Дарбина, которая рассчитывается как:

(16)

  • коэффициент автокорреляции в остатках первого порядка

n — число наблюдений в модели

V — выборочная дисперсия коэффициента при лаговой зависимой переменной

Если: ?1.96 — гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается.

Если: <1.96 — гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается.

Замечание:

Автокорреляция в остатках по авторегрессионным моделям может быть устранена с помощью авторегрессионных преобразований, например, с помощью моделей ARMA и ARIMA.

эконометрический регрессия алмон адаптивный

Модели адаптивных ожиданий — это такие модели, в которых учитывается ожидаемое значение факторного признака в момент времени (t+1), т.е. .

Такая модель в основном характерна для макроэкономических процессов, когда на инвестиции, сбережения и спрос на активы оказывает влияние ожидания относительного будущего.

Рассмотрим долгосрочную функцию модели адаптивных ожиданий:

(17)

  • фактическое значение результативного признака.
  • ожидаемое значение факторного признака.

Механизм формирования ожиданий в этой модели:

Каждый следующий период ожидания корректируется на некоторую долю б (разность между фактическим значением независимой переменной и её ожидаемым значением):

0? б?1 б-коэффициент ожидания. (18)

(19)

Чем ближе к единице, тем быстрее ожидаемое значение адаптируется к предыдущим реальным значениям.

Чем ближе к нулю, тем менее ожидаемое значение отличается от ожидаемого предыдущего периода .

Подставим в (17) выражение (19):

(20)

Запишем (17) для периода (t-1) и умножим полученное выражение на :

(21)

Вычтем из выражения (20) выражение (21):

(22)

(22) — краткосрочная функция модели адаптивных ожиданий. В отличии от модели долгосрочных ожиданий (17) не содержит ожидаемые значения факторной переменной , которые не возможно получить эмпирическим путем.

Для оценки параметров модели (17), сначала оцениваем параметры модели (22), а затем находим параметры модели (17).

6. Практическое применение динамических эконометрических моделей

Для исходных данных таблицы 1 по значениям ВВП и экспорта выполнить:

1) Графическое отображение и коинтеграцию временных рядов;

2) Построение и оценку модели авторегрессии;

3) Построение модели с распределенным лагом для l=4 в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени;

4) Построение модели с распределенным лагом методом Койка;

5) Определение серединного и медианного лага для каждой модели;

6) Оценку полученных результатов.

Таблица 1 Валовый внутренний продукт, 1959-2006 гг.

Год

ВВП(Y)

Экспорт (X)

Год

ВВП(Y)

Экспорт (X)

1959

506,6

22,7

1983

3536,7

277

1960

526,4

27

1984

3933,2

302,4

1961

544,7

27,6

1985

4220,3

302

1962

585,6

29,1

1986

4462,8

320,5

1963

617,7

31,1

1987

4739,5

363,9

1964

663,6

35

1988

5103,8

444,1

1965

719,1

37,1

1989

5484,4

503,3

1966

787,8

40,9

1990

5803,1

552,4

1967

832,6

43,5

1991

5995,9

635,3

1968

910

47,9

1992

6337,7

655,8

1969

984,6

51,9

1993

6657,4

720,9

1970

1038,5

59,7

1994

7072,2

812,2

1971

1127,1

63

1995

7397,7

868,6

1972

1238,3

70,8

1996

7816,9

955,3

1973

1382,7

95,3

1997

8304,3

955,9

1974

1500

126,7

1998

8747

991,2

1975

1638,3

138,7

1999

9268,4

1096,3

1976

1825,3

149,5

2000

9817

1032,8

1977

2030,9

159,4

2001

10128

1005,9

1978

2294,7

186,9

2002

10469,6

1040,8

1979

2563,3

230,1

2003

10960,8

1178,1

1980

2789,5

280,8

2004

11712,5

1303,1

1981

3128,4

305,2

2005

12455,8

1447,3

1982

3255

283,2

2006

12996

1635,3

Построим графики временных рядов y t и xt :

Рис. 1 Вид диаграммы динамики ВВП и экспорта в России

Видно, что тенденции этих рядов совпадают. Выполним проверку гипотезы H 0 об отсутствии коинтеграции между рядами ВВП и экспорта.

Уравнение парной регрессии между y t и xt и графическое сглаживание этой зависимости приведено ниже, показаны все статистические характеристики уравнения.

Рис. 2 Вид диаграммы рассеяния для зависимости ВВП и экспорта

Таким образом, получили уравнение

Используя полученное уравнение, определим теоретические значения и погрешности.

Таблица 2 Фрагмент рабочего листа после добавления к исходным данным теоретических значений и погрешностей

Год

ВВП(Y t )

Экспорт (X t )

Теоретические(Y t )

Погрешность e(t)

Погрешность e(t-1)

1959

506,6

22,7

902,554

-395,954

1960

526,4

27

938,33

-411,93

-395,954

1961

544,7

27,6

943,322

-398,622

-411,93

1962

585,6

29,1

955,802

-370,202

-398,622

1963

617,7

31,1

972,442

-354,742

-370,202

1964

663,6

35

1004,89

-341,29

-354,742

1965

719,1

37,1

1022,362

-303,262

-341,29

1966

787,8

40,9

1053,978

-266,178

-303,262

1967

832,6

43,5

1075,61

-243,01

-266,178

1968

910

47,9

1112,218

-202,218

-243,01

1969

984,6

51,9

1145,498

-160,898

-202,218

1970

1038,5

59,7

1210,394

-171,894

-160,898

1971

1127,1

63

1237,85

-110,75

-171,894

1972

1238,3

70,8

1302,746

-64,446

-110,75

Выполнили оценку парной регрессии для погрешностей. В результате получили:

Критическое значение ф, рассчитанные Инглом и Грэнджером для уровня значимости 5%, составляет 1,9439. В нашем случае, фактическое значение составляет 9,01, которое превышает табличное. Следовательно, гипотезу об отсутствии коинтеграции между рядами отклоняем и изменение переменной y t происходит параллельно с изменением переменной xt .

Построение модели авторегрессии.

Таблица 3 Построение модели авторегрессии

Год

ВВП(Y)

Экспорт (X)

Y(t-1)

X(t-1)

1959

506,6

22,7

1960

526,4

27

506,6

22,7

1961

544,7

27,6

526,4

27

1962

585,6

29,1

544,7

27,6

1963

617,7

31,1

585,6

29,1

1964

663,6

35

617,7

31,1

1965

719,1

37,1

663,6

35

1966

787,8

40,9

719,1

37,1

1967

832,6

43,5

787,8

40,9

1968

910

47,9

832,6

43,5

1969

984,6

51,9

910

47,9

1970

1038,5

59,7

984,6

51,9

1971

1127,1

63

1038,5

59,7

1972

1238,3

70,8

1127,1

63

Для того. Чтобы построить модель авторегрессии, нам нужно сдвинуть исходные данные на единицу вниз. Для полученных данных выполним построение парной регрессии и расчет основных статистических характеристик.

В результате получаем уравнение:

Значения d 0 =656.17, а d1 =8.52;

Выполним построение уравнения с распределенным лагом вида:

Y t =(a+c1 *d0 )+b0 *xt + c1 * d1 *xt-1 +(et +c1 *ut ).

Для этого проще всего создать таблицу новых исходных данных, содержащую три переменные: ВВП, экспорт и экспорт со сдвигом на 1 период. После применения инструментов множественной регрессии получим таблицу результатов, приведенную ниже.

Получаем уравнение вида:

;

Учитывая значения коэффициентов парного уравнения регрессии и уравнения с распределенным лагом найдем коэффициенты уравнения регрессии:

  • >

Уравнение авторегрессии имеет вид:

Для оценки уравнения регрессии на наличие автокорреляции в остатках выполняется расчет статистика Дарбина-Уотсона. Для этого необходимо построить расчетную таблицу, содержащую значения x t , yt , yt -1, теоретические значения yt по уравнению авторегрессии и погрешности.

Таблица 4 Фрагмент рабочей таблицы для расчета статистики Дарбина-Уотсона

Год

ВВП(Y)

Экспорт (X)

Y(t-1)

Теоретические значения Y(t) по ур-ию авторегрессии

Погрешность e(t)

погрешность e(t-1)

(e(t)-e(t-1))^2

e(t)^2

1959

506,6

22,7

1960

526,4

27

506,6

743,077

-216,677

46948,92

1961

544,7

27,6

526,4

757,012

-212,312

-216,677

19,053225

45076,39

1962

585,6

29,1

544,7

773,2855

-187,6855

-212,312

606,4645022

35225,85

1963

617,7

31,1

585,6

804,801

-187,101

-187,6855

0,34164025

35006,78

1964

663,6

35

617,7

837,9015

-174,3015

-187,101

163,8272003

30381,01

1965

719,1

37,1

663,6

872,751

-153,651

-174,3015

426,4431502

23608,63

1966

787,8

40,9

719,1

919,4155

-131,6155

-153,651

485,5632602

17322,64

1967

832,6

43,5

787,8

969,626

-137,026

-131,6155

29,27351025

18776,12

1968

910

47,9

832,6

1012,078

-102,078

-137,026

1221,362704

10419,92

1969

984,6

51,9

910

1072,491

-87,891

-102,078

201,270969

7724,828

1970

1038,5

59,7

984,6

1144,88

-106,38

-87,891

341,843121

11316,7

1971

1127,1

63

1039

1188,7975

-61,6975

-106,38

1996,525806

3806,582

1972

1238,3

70,8

1127

1269,5165

-31,2165

-61,6975

929,091361

974,4699

По моим расчетам d=0.4125, h=5,5165. Из этого следует, что нулевая гипотеза об отсутствии положительной автокорреляции остатков отклоняется.

Расчет параметров авторегрессии по исходным данным:

Рис. 4 Расчет параметров авторегрессии

Построение модели Койка.

При известных коэффициентах модели авторегрессии возможен расчет параметров модели с распределенным лагом по методу Койка.

Для этого воспользуемся взаимосвязью коэффициентов:

  • >

Получаем уравнение с распределенным бесконечным геометрическим лагом:

Средний лаг равен:

Медианный лаг:

Построение модели с распределенным лагом.

Для построения модели с распределенным лагом методом Алмон в статистике разработаны стандартные средства анализа.

Посмотрим полученную модель:

Рис. 5 Полученная модель

y t =5.345*xt +1.81*xt -1 +0.129*xt -2 +0.288*xt -3 +2.292*xt -4

Долгосрочный мультипликатор для данной модели будет равен:

b=5.345+1.81+0.129+0.288+2.292=9.870 млрд.$

В долгосрочной перспективе (например, через 3 мес.) увеличение расходов на экспорт на 1 млрд.$, приведет к общему росту ВВП на 9,8 млрд.$.

Таблица 4 Относительные коэффициенты регрессии в этой модели равны

в0

0,541527

в1

0,183873

в2

0,013109

в3

0,029236

в4

0,232254

Следовательно, 54,1% общего увеличения объема ВВП, вызванного ростом затрат на экспорт, происходит в текущем моменте времени; 18,3% — в момент t+1; 1,3 % — в момент t+2; 2,9% — в момент t+3; 23,22% — в момент t+4.

Средний лаг в данной модели определяется как:

Средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t, для модели Койка составляет — 0,68, для модели Алмон — 1,22. Существенные различия в значениях могут быть объяснены избыточным размером выбранного лага для модели Алмон.

Период времени, в который будет реализована половина общего воздействия фактора на результат для модели Койка, составляет — 0,76, для модели Алмон — 0,54.

Разработка экономической политики как на макро-, так и на микроуровне требует решения обратного типа задач, т.е задач, определяющих. Какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей. Например, как повлияют инвестиции в промышленность на валовую добавленную стоимость этой отрасли экономики будущих периодов или как может измениться объем ВВП, произведенного в периоде t+1, под воздействием увеличения денежной массы в периоде t. Для этого применяют динамические эконометрические модели.