Дифференциальные игры преследования с неполной информацией

метки: Игрок, Множество, Состояние, Конечный, Информация, Преследование, Число, Траектория

2.Дифференциальные игры с неполной информацией

Игры преследования с неполной информацией являются непосредственным обобщением игр преследования с полной информацией. Наиболее простым случаем неполной информации является такой, при котором игрок Р узнает фазовое состояние игрока Е с запаздыванием d>0, а игрок Е имеет полную информацию.

Пусть задано некоторое число d>0, называемое задержкой информации. При 0td игрок P в каждый момент времени t знает свое состояние х(t), время t и состояние игрока Е в начальный момент у_о . При dt Т игрок Р в каждый момент t знает свое состояние х(t), время t и состояние у(t—d) игрока Е в момент t—d. Игрок Е в каждый момент времени t знает свое состояние y(t), состояние противника x(t) и время t. Его выигрыш равен ρ(x(T), y(T)).

Игра антагонистическая. Обозначим ее через Г(x₀ , y₀ , t).

Кусочно-программные чистые стратегии.

Под кусочно-программной чистой стратегией v игрока Е будем понимать пару {τ, β}, где τ – разбиение отрезка времени [0,T] конечным числом точек 0= t₁ < …< t_s =T и β – отображение, которое каждому состоянию x(t_k ), y(t_k ), t_k ставит в соответствие отрезок измеримого программного управления v(t) игрока Е при t [ t_k , t_k+1 ).

Под кусочно-программной чистой стратегией u игрока P будем понимать пару {σ, α}, где σ – произвольное разбиение отрезка времени [0, T] конечным числом точек 0= t₁ ^‘ < …< t_k ^‘ =T и α – отображение, которое каждому состоянию x(t_k ^‘ ), y(t_k ^‘ d ), t_k ^‘ при t_k ^‘ >d ставит в соответствие отрезок измеримого программного управления u(t) игрока P при t [ t_k ^‘ , t_k+1 ^‘ ).

Налог на игорный бизнес состояние проблемы и пути совершенствования

... -правовой регламентации системы налогообложения в виде налога на игорный бизнес, а так же ее использования и применения индивидуальными предпринимателями и организациями на практике. Цель дипломной работы: изучение общих положений Федерального закона ...

При t_k ^‘ d отображение α каждому состоянию x(t_k ^‘ ), y₀ , t_k ^‘ ставит в соответствие отрезок измеримого управления u(t) игрока Р при t [ t_k ^‘ , t_k+1 ^‘ ).

Игра развивается в соответствии с уравнениями движения

= f(x,u), (2.1)

= g(y,v),

при этом полагаем выполненными все условия, гарантирующие существование и единственность решения системы (2.1) на отрезке [0, T] для любой пары измеримых программных управлений u(t), v(t).

Таким образом, в любой ситуации ( u, v ) при заданных начальных условиях x₀ , y₀ функция выигрыша определяется однозначно: К(x₀ ,y₀ ; u,v)= ρ(x(T), y(T)), где х(t), y(t) – решение системы (2.1) при начальных условиях x₀ , y₀ в ситуации ( u, v ), а ρ – евклидово расстояние.

Поскольку игра Г(x₀ , y₀ , T) не является игрой с полной информацией, то, вообще говоря,

sup inf К(x ₀ ,y₀ ; u,v)

Из этого следует, что ситуация

Смешанные кусочно-программные

Расширим пространства стратегий игроков Р и Е до так называемых смешанных кусочно-программных стратегий поведения (СКПСП), которые предполагают возможность случайного выбора управления на каждом шаге. Далее покажем, что для такого класса стратегий равенство (2.2) выполняется.

Под СКПСП игрока Р будем понимать пару μ={τ, α}, где τ – произвольное разбиение отрезка времени [0, T] конечным числом точек 0= t₁ < …< t_s =T и α – отображение, ставящее в соответствие состоянию x(t_k ), y(t_k −d), t_k при t_k >d и состоянию x(t_k ), y₀ t_k при t_k ≤ d вероятностное распределение α_k , сосредоточенное на конечном числе измеримых программных управлений u(t) при t [ t_k , t_k+1 ).

Аналогично под СКПСП игрока Е будем понимать пару ν={σ, β}, где σ – произвольное разбиение отрезка времени [0, T] конечным числом точек 0= t₁ ^‘ < …< t_k ^‘ =T и β – отображение, ставящее в соответствие состоянию x(t_k ^‘ ), y(t_k ^‘ ), t_k ^‘ вероятностное распределение ν_k , сосредоточенное на конечном числе измеримых программных управлений v(t) при t [ t_k ^‘ , t_k+1 ^‘ ).

Множества СКПСП игроков Р и Е будем обозначать соответственно через и .

Каждая пара СКПСП μ, ν при фиксированных начальных условиях x₀ ,y₀ индуцирует распределение вероятностей на пространстве траекторий x(t), y(t), x(0)= x₀ , y(0)= y₀ , поэтому под выигрышем М(x₀ ,y₀ , μ, ν ) в СКПСП будем понимать математическое ожидание выигрыша К(x₀ ,y₀ ; u,v) , усредненное по распределениям на пространствах траекторий, которые индуцируются СКПСП μ, ν.

Региональные стратегии развития регионов

... взаимосвязи между социально-экономическим положением региона и качеством стратегического планирования. В работе была сделана попытка создать методику оценки качества региональных стратегий по формализованным и неформализованным признакам, а также ...

, и выигрыш М, определили смешанное расширение (

Введем в рассмотрение следующую вспомогательную величину. Пусть С_Е ^Т (у) – множество достижимости игрока Е. Обозначим через С_Е ^Т (у) выпуклую оболочку множества С_Е ^Т (у).

Положим γ(у,Т) = min max ρ(η′,η″).

(2.3)

η′

, ), так что

min max ρ(η′,η″) =ρ( , ). (2.4)

η′

следует, что это – центр минимальной сферы, содержащей множество

Пусть у(t) – некоторая траектория у(0)=у₀ игрока Е при 0≤t≤T. Когда игрок Е перемещается вдоль у(t), величина γ(y(t), T- t) изменяется. Пусть ( t) – траектория точки из (2.4), соответствующая траектории y(t).

В дальнейшем будем анализировать лишь случай, когда для всех траекторий y(t) ( t) С_Р ^Т (х).

Назовем точку М центром преследования, если вней достигается

γ(М, l) = max γ(y′,l).

y′

Таким образом, γ(М, l) = max

Рассмотрим вспомогательную одновременную игру преследования на выпуклой оболочке множества С_Е ^Т (у).

Игрок Р выбирает некоторую точку η′ С _Е ^Т (у) , а игрок Е — точку η″ С _Е ^Т (у).

Выбор совершается одновременно, и игрок Р при выборе η′ не знает выбора η″ игрока Е, и наоборот. Игрок Е имеет выигрыш ρ(η′,η″).

Обозначим значение этой игры через V(y, T), чтобы подчеркнуть зависимость значения игры от параметров y,T, определяющих множества стратегий С_Е ^Т (у) и С_Е ^Т (у) игроков Р и Е. Игру в нормальной форме записываем следующим образом:

Г(у,Т) = ‹ С_Е ^Т (у), С_Е ^Т (у) , ρ(у′,у″)›.

Множество стратегий С_Е ^Т (у) минимизирующего игрока Р выпукло, как выпукла оболочка множества С_Е ^Т (у).

Функция ρ(у′,у″) также выпукла по своим аргументам и непрерывна.

Траектория у_k ^* (t) называется условно-оптимальной, если у^* (0)=у₀ , у^* (Т –l)=М, y^* (T)=y_k (M) для некоторого k из k=1, …, n+1. Для каждого k может существовать несколько условно-оптимальных траекторий игрока Е.

Все, что нужно знать об нише для получения максимального дохода

... адреса тех, кто «в теме» и запускать рекламу на них и похожие аудитории. Остались сомнения? Всем ... по написанию академических работ. Клиентов условно можно разделить на две категории со своими особенностями, к которым необходим ... креативных Чтобы получить хороший результат, таргетироваться нужно исключительно на подогретую аудиторию. Для этого нужно искать возможности получить ...

Пусть в плоскости задан выпуклый многогранник S. Обозначим через S₀ ; S₁ ,…,S_m – стороны S(без вершин) и S_m+1 ,…,S_n – вершины S. В начальный момент времени «случай» выбирает местоположение x₀ S игрока Р и местоположение y₀ S игрока Е в соответствии с равномерным распределением в S. Тогда если в результате случайного хода x₀ (y₀ ) принадлежит S_k , k=0, …, n, то игрок Р(Е) знает лишь, что он находится в S_k , но не знает, в какой именно точке этого множества. Далее игроки Р и Е перемещаются в S в соответствии с простым движением = αu, |u|=1,

=

из начальных состояний х₀

Пусть в момент 0≤t≤T точка х(t)

Информационные множества.

Согласно условиям игры игроки различают лишь множества S_k , k=0, …,n. Однако, находясь внутри S_k , они не различают позиций в этом множестве. Кроме того, игроки знают и множество S. Поэтому, находясь, например, на стороне S_k , игрок Р(Е) знает, какая это сторона, а следовательно, и то, с какой стороны от S_k находится многогранник S (выпуклый многогранник).

Если игрок Р(Е) находится в вершине S_k , k=m+1, …, 2m, то он знает расположение многогранника S и инцидентные стороны _, , примыкающие к вершине S_k . Если х _{S 0} , то игрок Р(Е) знает только то, что находится в S₀ . Поэтому мы определяем информационные множестваS⁽ⁱ⁾ игрока Р(Е) следующим образом:

S⁽⁰⁾ =S₀ ,

S^(k) =S_k

S^(k) =S_{k S o} , k=m+1, …, 2m (Рисунок 7)

, — инцидентные к

Определим допустимые управления в каждом из S^(k) , k=0, …,n. При х