Теория портфеля и модель оценки доходности финансовых активов

метки: Портфель, Ценный, Бумага, Доходность, Модель, Инвестор, Множество, Рисунок

1. Типы и принципы формирования портфеля ценных бумаг

В сложившейся мировой практике фондового рынка под инвестиционным портфелем понимается некая совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу, выступающая как целостный объект управления. Это означает, что при формировании портфеля и в дальнейшем, изменяя его состав и структуру, менеджер-управляющий формирует новое инвестиционное качество с заданным соотношением — риск/доход. Однако новый портфель представляет собой определенный набор из корпоративных акций, облигаций с различной степенью обеспечения и риска и бумаг с фиксированным доходом, гарантированным государством, т. е. с минимальным риском потерь по основной сумме поступлений. Теоретически портфель может состоять из ценных бумаг одного вида, а также менять свою структуру путем замещения одних ценных бумаг на другие. Однако каждая ценная бумага в отдельности не может достигать подобного результата.

Смысл портфеля — улучшить условия инвестирования, придав совокупности ценных бумаг такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценной бумаги и возможны только при их комбинации

Таким образом, в процессе формирования портфеля достигается новое инвестиционное качество с заданными характеристиками. Портфель ценных бумаг является инструментом, с помощью которого инвестору обеспечивается требуемая устойчивость дохода при минимальном риске. Доходы по портфельным инвестициям представляют собой валовую прибыль по всей совокупности бумаг, включенных в тот или иной портфель с учетом риска. Возникает проблема количественного соответствия между прибылью и риском, которая должна решаться в целях постоянного совершенствования структуры уже сформированных портфелей и формирования новых в соответствии с пожеланиями инвесторов. Надо сказать, что указанная проблема относится к числу тех, для выяснения которых достаточно быстро удается найти общую схему решения, но которые практически не разрешимы до конца.

С учетом инвестиционных качеств ценных бумаг можно сформировать различные портфели ценных бумаг, в каждом из которых будет собственный баланс между существующим риском, приемлемым для владельца портфеля, и ожидаемой им отдачей (доходы) в определенный период времени. Соотношение этих факторов и позволяет определить тип портфеля ценных бумаг.

Итак, тип портфеля — это его инвестиционная характеристика, основанная на соотношении дохода и риска. Важным признаком при классификации типа портфеля является то, каким способом, при помощи какого источника данный доход получен: за счет роста курсовой стоимости или текущих выплат — дивидендов, процентов (рисунок 1).

Финансовые инвестиции: понятие и классификация. Определение стоимости ...

... целью повышения его доходности, ликвидности и минимизации риска. Успешно осуществить управление можно с помощью диверсификации входящих в портфель ценных бумаг. Управление портфелем ценных бумаг предполагает: определение задач, стоящих перед портфелем, в целом; разработку и реализацию инвестиционной ...

Рассмотрим классификацию портфеля в зависимости от источника дохода.

Портфель роста формируется из акций компаний, курсовая стоимость которых растет. Цель данного типа портфеля — рост капитальной стоимости портфеля вместе с получением дивидендов. Однако дивидендные выплаты производятся в небольшом размере. Темпы роста курсовой стоимости совокупности акций, входящих в портфель, определяют виды портфелей, составляющие данную группу.

инвестиционный портфель акция доход

Рисунок 1 — Классификация портфеля в зависимости от источника дохода

Портфель агрессивного роста нацелен на максимальный прирост капитала. В состав данного типа портфеля входят акции молодых, быстро растущих компаний. Инвестиции в портфеле являются достаточно рискованными, но вместе с тем могут приносить самый высокий доход.

Портфель консервативного роста является наименее рискованным. Он состоит в основном из акций крупных, хорошо известных компаний, характеризующихся, хотя и невысокими, но устойчивыми темпами роста курсовой стоимости. Состав портфеля остается стабильным в течение длительного периода времени. Инвестиции портфеля консервативного роста нацелены на сохранение капитала.

Портфель среднего роста представляет собой сочетание инвестиционных свойств портфелей агрессивного и консервативного роста. В данный тип портфеля включаются наряду с надежными ценными бумагами, приобретаемыми на длительный срок, рискованные фондовые инструменты, состав которых периодически обновляется. При этом гарантируется средний прирост капитала и умеренная степень риска вложений. Надежность обеспечивается ценными бумагами консервативного роста, а доходность — ценными бумагами агрессивного роста. Портфель среднего роста является наиболее распространенной моделью портфеля и пользуется большой популярностью у инвесторов не склонных к высокому риску.

Портфель дохода ориентирован на получение высокого текущего дохода -процентных и дивидендных выплат. Портфель дохода составляется в основном из акций дохода, т. е. таких акций, которые характеризуются умеренным ростом курсовой стоимости и высокими дивидендами, облигаций и других ценных бумаг, инвестиционным свойством которых являются высокие текущие выплаты. Особенность этого типа портфеля в том, что цель его создания -получение определенного уровня дохода, величина которого соответствовала бы минимальной степени риска, приемлемого консервативным инвестором. Поэтому объектами портфельного инвестирования являются высоконадежные инструменты фондового рынка, у которых высокое соотношение стабильно выплачиваемого процента и курсовой стоимости. Портфель регулярного дохода формируется из высоконадежных ценных бумаг и приносит средний доход при минимальном уровне риска. Портфель доходных бумаг состоит из высокодоходных облигаций корпораций, ценных бумаг, приносящих высокий доход при среднем уровне риска.

Портфель роста и дохода формируется для избежания возможных потерь на фондовом рынке, как от падения курсовой стоимости, так и низких дивидендных или процентных выплат. Одна часть финансовых активов, входящих в состав данного портфеля, приносит владельцу рост капитальной стоимости, а другая — доход. Потеря одной части может компенсироваться возрастанием другой.

Охарактеризуем виды портфеля роста и дохода.

Портфель двойного назначения состоит из бумаг, приносящих его владельцу высокий доход при росте вложенного капитала, В данном случае речь идет о ценных бумагах инвестиционных фондов двойного назначения. Они выпускают собственные акции двух типов, первые — приносят высокий доход, вторые -прирост капитала. Инвестиционные характеристики портфеля определяются значительным содержанием данных бумаг в портфеле.

Сбалансированные портфели предполагают сбалансированность не только доходов, но и риска, который сопровождает операции с ценными бумагами. Сбалансированные портфели в определенной пропорции состоят из ценных бумаг быстро растущих в курсовой стоимости, и из ценных высокодоходных бумаг. В состав портфелей могут включаться и высоко рискованные ценные бумаги, но, как правило, они формируются из обыкновенных и привилегированных акций, а также облигаций. В зависимости от конъюнктуры рынка в те или иные фондовые инструменты, включенные в портфель, вкладывается большая часть средств.

Если рассматривать типы портфелей в зависимости от степени риска, приемлемого для инвестора, то необходимо вспомнить их классификацию, согласно которой они делятся на консервативный, умеренно-агрессивный, агрессивный нерациональный. Поэтому каждому типу инвестора будет соответствовать и свой тип портфеля ценных бумаг: высоконадежный, но низко доходный; диверсифицированный; рискованный, но высокодоходный; бессистемный (таблица 1).

При дальнейшей классификации портфеля структурообразующими признаками могут выступать те инвестиционные качества, которые приобретет совокупность ценных бумаг, помещенная в данный портфель. На рисунке 2 выделены некоторые основные инвестиционные качества: ликвидность, льготное налогообложение, отраслевая региональная принадлежность.

Ликвидность как инвестиционное качество портфеля означает возможность быстрого превращения портфеля в денежную наличность без потери его стоимости. Лучше всего данную задачу позволяют решить портфели денежного рынка.

Портфели денежного рынка — это разновидность портфелей, которые ставят своей целью полное сохранение капитала. В состав портфеля включается преимущественно денежная наличность или быстро реализуемые активы.

Следует отметить, что одно из «золотых» правил работы с ценными бумагами гласит: «нельзя вкладывать все средства в ценные бумаги — необходимо иметь резерв свободной денежной наличности для решения инвестиционных задач, возникающих неожиданно».

Таблица 1 — Связь между типом инвестора и типом портфеля

Тип инвестора	Цели инвестирования	Степень риска	Тип ценной бумаги	Тип портфеля
Консервативный	Защита от инфляции	Низкая	Государственные ценные бумаги, акции и облигации крупных стабильных эмитентов	Высоконадежный, но низкодоходный
Умеренно-агрессивный	Длительное вложение капитала и его рост	Средняя	Малая доля государственных ценных бумаг, большая доля ценных бумаг крупных и средних, но надежных эмитентов с длительной рыночной историей	Диверсифицированный
Агрессивный	Спекулятивная игра, возможность быстрого роста вложенных средств	Высокая	Высокая доля высокодоходных ценных бумаг небольших эмитентов, венчурных компаний и т.д.	Рискованный, но высокодоходный
Нерациональный	Нет четких целей	Низкая	Произвольно подобранные ценные бумаги	Бессистемный

Рисунок 2 — Основные инвестиционные качества портфеля

В зависимости от целей инвестирования в состав портфелей ценных бумаг включаются ценные бумаги, которые соответствуют поставленной цели, например конвертируемые портфели. Они состоят из конвертируемых и привилегированных акций и облигаций и могут быть обменены на установленное количество обыкновенных акций по фиксированной цене в определенный момент времени. При активном рынке — «рынке быка»- это дает возможность получить дополнительный доход. К этому же типу портфелей относят портфели средне- и долгосрочных инвестиций с фиксированным доходом. Выделяют портфели ценных бумаг, подобранных в зависимости от региональной принадлежности эмитентов.

Следует отметить, что формирование и управление портфелем — область деятельности профессионалов, а создаваемый портфель — это товар, который может продаваться либо частями (продают доли в портфеле для каждого инвестора), либо целиком (когда менеджер берет на себя труд управлять портфелем ценных бумаг клиента).

Как и любой товар, портфель определенных инвестиционных свойств может пользоваться спросом на фондовом рынке.

2. Модели портфельного инвестирования

Целью современной теории формирования и управления портфелем ценных бумаг является разработка методов, с помощью которых инвестор может выбрать оптимальный для себя портфель из бесконечного числа возможных.

Нынешнее состояние финансового рынка заставляет быстро и адекватно реагировать на его изменения, поэтому роль управления инвестиционным портфелем резко возрастает и заключается в нахождении той грани между ликвидностью, доходностью и рискованностью, которая позволила бы выбрать оптимальную структуру портфеля. Этой цели служат различные модели выбора оптимального портфеля.

Все методы формирования портфелей можноусловноразбитьна а) эмпирические и б) математически и статистически обоснованные. Второй способ более объективный и точный, но и более трудоемкий. Получение математической оценки состояния портфеля на разных этапах инвестирования при учете влияния различных факторов делает возможным непрерывно управлять структурой портфеля на каждом этапе принятия решения, то есть, по сути, управлять рисками.

Использование компьютерной реализации моделей значительно увеличивает оперативность получения аналитического материала для принятия решений. Следовательно, выполняются такие основные свойства управления как эффективность, непрерывность и оперативность.

В настоящее время существует множество моделей по формированию портфеля ценных бумаг. Наиболее известной является модель Гарри Марковица и производная от нее модель Вильяма Шарпа. Согласно этой модели после определения ожидаемой доходности и дисперсии всех рассматриваемых ценных бумаг, а также после оценки их ковариации и установления безрисковой процентной ставки, инвестор составляет структуру «касательного» портфеля, а также ожидаемую доходность и среднеквадратическое отклонение. На следующем этапе выбирается оптимальный портфель, отмечая на графике те точки, где одна из кривых безразличия касается, но не пересекает эффективное множество. И так как эффективное множество представляет собой прямую, то оптимальный портфель включает инвестиции в «касательный» портфель, комбинированный с определенным количеством безрисковых вложений и кредитов. Эта модель требует подробного рассмотрения, т.к. многие модели опираются на положения Гарри Марковица.

2.1 Подход Г.Марковица к проблеме выбора инвестиционного портфеля

Остановимся на общих характеристиках, используемых в этой и других моделях.

1) Показатель ?-дневной доходности, рассчитываемый как процентное отношение цены продажи в день t к цене приобретения компанией j-ой акции в день (t — ?):

, (1)

Где — цена покупки j-ой акций;

• цена продажи в деньtj-ой акции.

2) Средний рыночный показатель доходности по данным ценным бумагам в математической статистике называемый математическим ожиданием (M = E{R}).

3) Разброс вокруг ожидаемого значения (дисперсия).

Дисперсия есть А тематическое ожидание квадрата случайной величины от ее ожидаемого значения, определяется по формуле:

V = E{(R — M)2}, (2)

где V — дисперсия

R — случайная величина

М — математическое ожидание.

4) Так как дисперсия измеряется в тех же единицах, что и случайная величина, но возведенных в квадрат, то оценить полученный результат и определить его реальный экономический смысл для инвестора представляется несколько затруднительным. Поэтому обычно в качестве альтернативы используют показатель среднего квадратического отклонения:

, (3)

Где ? — среднее квадратическое отклонение.

Чем больше квадратическое отклонение, тем выше неопределенность и риск, то есть отклонение выступает как мера риска.

Теперь рассмотрим, как вычисляется стандартное отклонение портфеля. Для портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, формула выглядит следующим образом:

(4)

где — ковариация доходностей i-й и j-й ценных бумаг;

• X1Х2, и Х3 — веса ценных бумаг в портфеле.

Ковариация двух случайных величин Ri и Rj равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

, (5)

где — коэффициент корреляции между доходностью на i-ю ценную бумагу и доходностью на j-ю ценную бумагу.

Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных. Он рассчитывается по формуле

• (6)

Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между -1 и +1. Если он равен -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремальными значениями.

Выше приведенные характеристики можно применять и к портфелю,

состоящему из некоторого числа ценных бумаг при условии

где Xj (i = ) — доля общего вложения, приходящегося на i-й вид ценных бумаг.

Второе ограничение формирования портфеля фиксирует желаемый уровень доходности

, (7)

где Rp — эффективность ожидаемой доходности i-го вида ценной бумаги.

Подход Марковица может быть рассмотрен как дискретный подход, при котором начало периода обозначается t = 0, а конец периода t = l. В момент t = 0 инвестор должен принять решение о покупке конкретных ценных бумаг, это решение эквивалентно выбору оптимального портфеля из набора возможных портфелей.

Гарри Марковиц вводит понятия начального и конечного благосостояния. Доходность ценной бумаги за один период рассчитывается по формуле

, (8)

где «Благосостоянием в начале периода» называется цена покупки одной ценной бумаги данного вида в момент t = 0, а «Благосостоянием в конце периода» называется рыночная стоимость данной ценной бумаги в момент t = l в сумме со всеми выплатами.

Аналогичным образом вычисляется доходность портфеля:

, (9)

где W0и W1 — совокупная рыночная стоимость всех ценных бумаг, входящих в портфель в момент t = 0, t = l.

Марковиц утверждает, что инвестор должен основывать свое решение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении, проводить эти расчеты для каждого портфеля, а затем выбрать «лучший» из них, основываясь на соотношении этих двух параметров. Каждый инвестор выбирает это соотношение в соответствии сосвоими целями. Для выбора наиболее желательного портфеля можно использовать так называемые кривые безразличия (рисунок 3).

Рисунок 3 — График кривых безразличия инвестора, избегающего риска

Рисунок 3 представляет собой график кривых безразличия гипотетического инвестора. Каждая кривая линия отображает одну кривую безразличия инвестора и представляет все комбинации портфелей, которые обеспечивают заданный уровень желаний инвестора. Это означает, что инвестор сочтет портфели А и В равноценными, несмотря на то, что они имеют различные ожидаемые доходности и стандартные отклонения, так как оба этих портфеля лежат на одной кривой безразличия I2.С точки зрения получения максимальной доходности и минимизации риска он выберет портфель с большей ожидаемой доходностью, чем у портфеля А и стандартным отклонением меньшим, чем у портфеля В. Это объясняется тем, что портфель С лежит на кривой безразличия I3, которая расположена выше и левее, чем I2. Таким образом инвестор будет считать любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится выше и левее, более привлекательным, чем любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится ниже и правее. Следует заметить, что инвестор имеет бесконечное число кривых безразличия. Это означает, что, как бы не были расположены две кривые безразличия на графике, всегда существует возможность построить третью кривую лежащую между ними, как и из любого набора ценных бумаг можно сформировать бесконечное число портфелей. Однако возникает вопрос, неужели необходимо проводить оценку всех этих портфелей? В этом случае можно воспользоваться теоремой об эффективном множестве.

Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых:

• обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска;
• обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

Набор портфелей, удостоверяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством, или эффективной границей.

Рисунок4 представляет иллюстрацию местоположения достижимого множества, также известного как множество возможностей, из которого может быть выделено эффективное множество. Достижимое множество представляет собой портфели, которые могут быть сформированы из N ценных бумаг. Это означает, что все возможные портфели, которые могут быть сформированы из N ценных бумаг, лежат либо на границе, либо внутри достижимого множества (точки G,E,S и Н на рисунке 4).

Рисунок 4 — Достижимое и эффективное множество

Если посмотреть на рисунок4 можно заметить, что не существует менее рискового портфеля, чем портфель Е, так как при проведении вертикальных прямых через точку Е ни одна точка достижимого множества не будет лежать левее данной прямой. Аналогично нет более рискованного портфеля чем портфель Н. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих максимальную ожидаемую доходность при изменяющемся уровне риска, является часть верхней границы достижимого множества, расположенного между точками Е и Н. Также можно сказать, что не существует портфеля обеспечивающего большую доходность, чем портфель S и не существует портфеля, обеспечивающего меньшую доходность, чем портфель G. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих минимальный риск при изменяющемся уровне ожидаемой доходности, является часть левой границы достижимого множества, расположенная между точками S и G. В результате больший интерес представляют те портфели, которые лежат на верхней и левой границе достижимого множества между точками Е и S — это и есть множество эффективных портфелей. Все остальные портфели — неэффективные.

Для выбора оптимального портфеля инвестор должен нарисовать свои кривые безразличия на одном рисунке с эффективным множеством, а затем приступить к выбору портфеля, расположенного на кривой безразличия, находящегося выше и левее остальных. Этот портфель будет соответствовать точке, в которой кривая безразличия касается эффективного множества. Как это видно из рисунка 5 таким портфелем является портфель О* на кривой безразличия I2.

Как можно увидеть на рисунке5 эффективное множество в общем случае вогнуто и имеет положительный наклон, то есть отрезок, соединяющий любые две точки эффективного множества, лежит ниже данного множества.

Это свойство эффективных множеств является очень важным, так как оно означает, что существует только одна точка касания эффективного множества и кривых безразличия.

Эффективное множество всегда является вогнутым и «впадин» на нем не существует. И считается, что оно не может иметь никакую другую форму, так как если бы была «впадина» допустим между точкамиЕ и К (рисунок 5), то вложения допустим в портфель W не будет соответствовать оптимальному портфелю. Инвестор может вложить часть своих фондов в портфельЕ, а оставшуюся в портфель К. Это вложение будет «более эффективным», так как они располагаются на рисунке левее рассматриваемого эффективного множества.

Рисунок 5 — Выбор оптимального портфеля

Для определения структуры портфеля отметим точку О*, расположенную на эффективном множестве модели Марковица. Она лежит между вторым и третьим ближайшими «угловыми» портфелями, обозначенными К и Е соответственно. Так как искомый портфель лежит между этими двумя «угловыми портфелями», то его структура является взвешенным средним структур К и Е. Веса этих портфелей можно определить графическим путем при проведении горизонтальной линий от точки О* до вертикальной оси, по которой измеряется доходность.

После того как были определены структура и местоположение эффективного множества Марковица, можно определить состав оптимального портфеля инвестора.

Если ожидаемая доходность оптимального портфеля обозначена, как и ожидаемые доходности двух ближайших «угловых» портфелей обозначены и соответственно, тогда состав оптимального портфеля может быть определен с помощью решения следующего уравнения относительно Y

• (10)

Оптимальный портфель будет состоять из доли, инвестируемой в ближайший «угловой» портфель, находящийся «выше» оптимального, и доли (1 — Y), инвестируемой в ближайший «угловой» портфель, расположенный ниже оптимального.

Оптимизация портфеля по Марковицу — это нахождение таких пропорций Xi, при формировании портфеля, которыепри заданной cредней доходности портфеля минимизируют общий портфельный риск.

Итак, подход Марковица предполагает, что активы, предполагаемые для инвестиций, в отдельности являются рискованными, т.е. каждый из N рискованных активов дает неопределенный доход за период владения. Поскольку никакой из активов не имеет совершенно отрицательной корреляции с любым другим активом, то все портфели дают неопределенные доходы за период владения и, следовательно, являются рискованными.

Кроме того, инвестору не позволяется использовать одолженные деньги вместе с начальным капиталом для покупки портфеля активов. Это означает, что инвестору не разрешается использовать финансовую поддержку или счет, находящийся у его брокера, что несет не только неудобство, но и снижение возможной доходности от операций.

2.2 Безрисковое предоставление и получение займов

Эти недостатки были устранены в обобщенных подходах Вильяма Шарпа.

Во-первых, инвестор получил возможность инвестировать не только в рискованные (X), но и в безрисковые активы (X — 1), а также одалживать деньги при обязательных выплатах по определенной процентной ставке по взятым займам.

С появлением на рынке безрискового актива инвестор получил возможность вкладывать часть своих денег в этот актив, а остаток — в любой из рискованных портфелей, содержащихся во множестве достижимости Марковица. Появление новых возможностей существенно расширяет множество достижимости и, что важнее, изменяет расположение значительной части эффективного множества Марковица.

При одновременном инвестировании в безрисковый и рискованный активы инвестору нужно сначала определить ожидаемую доходность. Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то, по определению, стандартное отклонение, а значит и корреляция для безрискованного актива равно нулю. В соответствии с этим получаем средне-квадратическое отклонение портфеля:

• (11)

Для вычисления ожидаемых доходностей уравнение (7)сводится к следующему:

, (12)

где X1, X0 — часть средств, вложенных в рискованные акции одной компании и в безрискованный актив;

• ri — ставка доходности по акциям компании;
• r0- ставка доходности по безрискованному активу.

Любой портфель, состоящий из комбинаций безрискованного актива будет иметь ожидаемую доходность и стандартное отклонение, которые лежат на одной прямой, соединяющей точки, соответствующие этим активам.

Объединение безрискового актива с рискованным портфелем можно рассматривать точно так же, как объединение безрискованного актива с рискованной ценной бумагой. Во всех случаях портфель имеет ожидаемую доходность и стандартное отклонение, лежащие на прямой линии, соединяющей две крайние точки.

Теперь рассмотрим случай, когда инвестору разрешается одалживать деньги. Множество достижимости существенно изменяется в результате рассмотрения безрискового кредитования. На рисунке 6 показано, как меняется множество достижимости для рассматриваемого примера. На нем рассматриваются всевозможные комбинации безрискового актива с различным рискованными активами и портфелями. Причем нижняя прямая линия соединяет две точки, соответствующие безрисковому активу и рискованным акциям компаний.

Другая прямая линия, выходящая из точки, соответствующей безрисковому активу, представляет комбинации безрискового актива и определенного рискового портфеля из эффективного множества (в точке, обозначенной Т).

Точка касания представляет рискованный портфель. Хотя и другие рискованные эффективные портфели из модели Марковица могут быть скомбинированы с безрисковым активом, портфель Т заслуживает особого внимание, так как не существует портфеля, лежащего выше и левее его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей безрисковому активу, и соединяют эту точку с рискованным активом или портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в точку Т. Данный момент особенно важен потому, что часть эффективного множества модели Марковица отсекается этой линией. В частности портфели, которые принадлежали эффективному множеству и располагались между минимально рискованным портфелем, обозначенным через V, и портфелем Т, теперь (с введением возможности инвестирования в безрисковые активы) не являются эффективными. Теперь эффективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точку Т и поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля Т.

Искривленный отрезок расположен выше и правее точки Т и представляет портфели из эффективного множества модели Марковица.

Рисунок 6 — Достижимое и эффективное множества при возможности безрискового кредитования

При одновременном учете безрискового заимствования и кредитования по одной и той же безрисковой процентной ставке множество достижимости окажется между двумя лучами, выходящими из точки rf (рисунок 7), соответствующей безрисковой ставке, и проходящими через точки, соответствующие акциям компаний и портфелю, обозначенному через Т. Эти два луча уходят в бесконечность при условии, что нет ограничений на величину получаемого займа.

Луч, идущий через портфель Т, является особенно важным, поскольку он представляет эффективное множество. Это означает, что на нем располагаются портфели, предлагающие наилучшие возможности для инвестора, так как каждый из этих портфелей является крайним в северо-западном направлении относительно оси ординат.

а) Оптимальный портфель, включающий безрисковое кредитование

б) Оптимальный портфель, включающий безрисковое заимствование

Рисунок 7 — Достижимое и эффективное множество в случае возможности безрискового заимствования и кредитования

Как и прежде, линия, идущая через Т, является касательной к эффективному множеству модели Марковица. Кроме портфеля Т ни один из портфелей, которые находились в эффективном множестве модели Марковица, не является эффективным после введения возможностей предоставления и получения безрисковых займов, так как любой портфель (кроме Т) уступает портфелям, лежащим на верхнем луче и имеющим больший ожидаемый доход при том же самом стандартом отклонении.

Кроме того, Шарп доказал, что при выборе портфеля с учетом влияния безрискового заимствования и кредитования инвестор остановится на оптимальном портфеле, найдя точку касания своей кривой безразличия к линейному эффективному множеству. На рисунке 7 изображены две возможные ситуации. Если кривые безразличия инвестора выглядят аналогично изображенным на рисунке 7(а), то оптимальный портфель О* состоит из инвестиций в безрисковый актив и портфель Т. Если же инвестор менее склонен избегать риска и его кривые безразличия аналогичны изображенным на рисунке 7(б), то оптимальный портфель инвестора О* состоит из получения займа по безрисковой ставке и из инвестиций этих и собственных фондов в Т.

Дальнейшее определение структуры портфеля Т (а, следовательно, и его расположения) требует тех же процедур, что и при подходах Гарри Марковица.

В общем, концепция, разработанная американским ученым В. Шарпом, является более сложной, с точки зрения применяемых методов и устанавливаемых зависимостей. Она получила название «линии эффективного рынка ссудного капитала», так как инвестор, стремящийся достичь более высокого уровня прибыли, чем среднерыночный, должен занимать финансовые средства по рисковому проценту. Безусловно, что Шарп внес огромный и неоценимый вклад в исследование проблемы формирования и управления портфелем ценных бумаг, но модель его из-за большой сложности не получила такого широкого практического применения, как модель Марковица. Но и эта модель требует больших временных затрат и становиться практически не разрешимой при рассмотрении большого числа ценных бумаг, так как требует проведения оценки N параметров. К счастью, существуют альтернативы данному методу.

3. Оценка финансовых активов

3.1 САРМ: модель оценки финансовых активов

Для того чтобы понять, как складываются цены финансовых активов, необходимо сконструировать модель. Это требует упрощений, позволяющих создателю модели абстрагироваться от всей сложности ситуации и рассматривать только наиболее важные ее элементы. С этой целью формулируются определенные предположения об объекте исследования. Эти упрощающие предположения призваны обеспечить степень абстракции, позволяющую построить модель. Обоснованность этих предположений (или их недостаток) не имеет большого значения. Имеет значение способность модели помочь в понимании и предсказании моделируемого процесса.

Некоторые из предположений, на которых основывается модель САРМ, совпадают с предположениями нормативного подхода к инвестированию, описанного в предыдущей главе. Это следующие предположения:

1) Инвесторы производят оценку инвестиционных портфелей, основываясь на ожидаемых доходностях и их стандартных отклонениях за период владения.

2) Инвесторы никогда не бывают пресыщенными. При выборе между двумя портфелями они предпочтут тот, который, при прочих равных условиях, дает наибольшую ожидаемую доходность.

3) Инвесторы не желают рисковать. При выборе между двумя портфелями они предпочтут тот, который, при прочих равных условиях, имеет наименьшее стандартное отклонение.

4) Частные активы бесконечно делимы. При желании инвестор может купить часть акции.

5) Существует безрисковая процентная ставка, по которой инвестор может дать взаймы (т.е. инвестировать) или взять в долг денежные средства.

6) Налоги и операционные издержки несущественны.

Эти предположения могут быть дополнены следующими:

7) Для всех инвесторов период вложения одинаков.

8) Безрисковая процентная ставка одинакова для всех инвесторов.

9) Информация свободно и незамедлительно доступна для всех инвесторов.

10) Инвесторы имеют однородные ожидания, т.е. они одинаково оценивают ожидаемые доходности, среднеквадратичные отклонения и ковариации доходностей ценных бумаг.

Как вытекает из этих предположений, в САРМ рассматривается предельный случай. Все инвесторы обладают одной и той же информацией и по одинаковому оценивают перспективы ценных бумаг.Это означает, что они одинаковым образом анализируют получаемую информацию.

В модели САРМ простым образом определяется связь между риском и доходностью эффективных портфелей. Это наглядно представлено на рисунке 8.Точка М обозначает рыночный портфель, а rfпредставляет собой безрисковую ставку доходности. Эффективные портфели находятся вдоль прямой, пересекающей ось ординат в точке с координатами (0, F) и проходящей через М, и образуются альтернативными комбинациями риска и доходности, получаемыми в результате сочетания рыночного портфеля с безрисковым заимствованием или кредитованием. Это линейное эффективное множество в САРМ известно под названием «рыночная линия» (CML).

Все остальные портфели, не использующие рыночный портфель в комбинации с безрисковым заимствованием или кредитованием, будут лежать ниже рыночной прямой, хотя некоторые могут располагаться в непосредственной близости от нее. Наклон CML равен разнице между ожидаемой доходностью рыночного портфеля и безрисковой бумаги (rm — rf), деленной на разницу их рисков (?m — 0).

Так как CML пересекает вертикальную ось в точке с координатами (0, r), то уравнение CML имеет вид:

, (13)

Где rр — ожидаемая доходность эффективного портфеля;

• ?p — среднеквадратичное отклонение эффективного портфеля.

Рисунок 8 — Рыночная линия

Состояние равновесия на рынке ценных бумаг может быть охарактеризовано двумя ключевыми величинами. Первая — это ордината точки пересечения CML с вертикальной осью (т.е. безрисковая ставка), которую часто называют наградой за ожидание. Вторая — это наклон CML, который называют наградой за единицу принятого риска. По сути, фондовый рынок позволяет осуществлять торговлю временем и риском по ценам, определяемым спросом и предложением. Таким образом, две эти величины можно интерпретировать как цены времени и риска.

Рыночная линия представляет собой равновесное соотношение ожидаемой доходности и среднеквадратичного отклонения для эффективных портфелей. Отдельные рискованные бумаги всегда будут находиться ниже этой прямой, так как единичная рискованная бумага сама по себе является неэффективным портфелем. В модели формирования курсов на фондовом рынке не подразумевается определенной связи между ожидаемой доходностью и среднеквадратичным отклонением (т.е. общим риском) для каждой отдельной ценной бумаги.

В САРМ каждый инвестор обладает рыночным портфелем и его интересует среднеквадратичное отклонение своего портфеля, так как от него будет зависеть наклон CML, а, следовательно, и размер инвестиций инвестора в рыночный портфель. Вклад каждой бумаги в среднеквадратичное отклонение рыночного портфеля зависит от величины ковариации бумаги с рыночным портфелем. В соответствии с этим для каждого инвестора становится понятным, что величина допустимого риска каждой бумаги определяется ковариацией этой бумаги с рыночным портфелем, ?im. Из этого следует, что ценные бумаги с большими значениями ?im должны обеспечивать пропорционально большую ожидаемую доходность, что должно заинтересовать инвестора в их приобретении. Точная форма равновесной взаимосвязи между риском и доходом может быть записана в следующем виде:

• (14)

Данное уравнение описывает прямую аналогичную прямой изображенной на рисунке 8. Так как величина наклона положительна, то уравнение указывает на то, что курсы ценных бумаг с большим значением ковариации с рыночным портфелем ?im, будут обеспечивать большую ожидаемую доходность (ri).

Эта зависимость ковариции и ожидаемой доходности известна под названием рыночная линия ценной бумаги (SML).

Равновесное состояние, представленное SML, складывается в результате суммарного эффекта корректировки инвесторами структуры своих портфелей и результирующего давления на курсы бумаг. Обладая набором курсов ценных бумаг, инвесторы вычисляют ожидаемые доходности и ковариации, а затем определяют состав своих оптимальных портфелей. Если спрос на ценные бумаги какого-либо вида отличен от их предложения, то такая несбалансированность будет оказывать воздействие на их курс. Получив новую информацию о курсах, инвесторы пересмотрят свои намерения относительно различных бумаг. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока общий спрос на ценные бумаги какого-либо вида не уравновесит их предложение.

Для отдельного инвестора курс ценных бумаг и их перспективы заданы, а их количество он может менять. Для рынка же в целом количество бумаг фиксирование (по крайней мере, в короткий промежуток времени), а их курсы постоянно меняются. Как и на любом конкурентном рынке, для достижения равновесия на рынке ценных бумаг необходима корректировка курсов бумаг до тех пор, пока не установится соответствие между спросом на бумаги и их предложением.

3.2 Теория арбитражного ценообразования

Модель САРМ является равновесной моделью, объясняющей, почему различные ценные бумаги обладают разными ожидаемыми доходностями. Эта модель образования цен на финансовые активы, в частности, утверждает, что ценные бумаги обладают различными доходностями вследствие различных коэффициентов «бета». Однако существует альтернативная модель ценообразования, разработанная Стефаном Россом. Эта теория, известная как «теория арбитражного ценообразования» (APT), в некотором смысле является менее сложной, чем САРМ. Главным предположением теории является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности, является арбитражный портфель.

Арбитраж — это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые продукцию или ценные бумаги. Арбитраж является широко распространенной инвестиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременной покупки такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене.

Арбитражная деятельность является важной составляющей современных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбитражные доходы являются безрисковыми по определению, то все инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возможности. Правда, некоторые инвесторы имеют большие ресурсы и наклонности для участия в арбитраже, чем другие. Однако для реализации и исчерпания арбитражных возможностей (вследствие покупок и продаж акций) достаточно меньшего числа инвесторов, чем имеется желающих принять участие в этих операциях.

Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различных цен на определенную ценную бумагу. Однако «почти арбитражные» возможности могут существовать и у похожих ценных бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно различными способами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг.

Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением внефакторного риска. Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы «почти арбитражные» возможности. Но как только такие возможности появляются, деятельность инвесторов приводит к их исчезновению.

APT исходит из предположения о связи доходности ценных бумаг с некоторым количеством неизвестных факторов. Для простоты демонстрации представим, что имеется только один фактор и этим фактором является предсказанный темп роста промышленного производства. В данном случае доходностьценных бумаг определяется в соответствии со следующей однофакторной моделью (аналогично формуле рыночной модели):

, (15)

где F1 — значение фактора (предсказанный темп роста промышленного производства);

• bi — чувствительность ценной бумаги i к значению фактора.

Предположим, что инвестор обладает акциями трех видов и текущая рыночная цена каждого его актива равна 4 000 000 д.е. В этом случае текущая стоимость инвестированного капитала Wo равна 12 000 000 д.е. Допустим эти акции имеют следующие ожидаемые доходности и чувствительности.

i	ri	bi
Акция 1	15	0,9
Акция 2	21	3,0
Акция 3	12	1,8

Но соответствуют ли ситуации равновесия указанные величины ожидаемых доходностей и чувствительностей к факторам?

В соответствии с APT инвестор исследует возможности формирования арбитражного портфеля для увеличения ожидаемой доходности своего текущего портфеля без увеличения риска. Под арбитражным портфелем понимается портфель, который, во-первых, не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора. Если через Xi обозначить изменение в стоимости ценной бумаги i в портфеле инвестора (а значит, и ее веса в арбитражном портфеле), то это требование к арбитражному портфелю может быть записано так:

Х1 + Х2 + Х3 = 0. (16)

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к какому фактору. Поскольку чувствительность портфеля к фактору является взвешенной средней чувствительностей ценных бумаг портфеля, то это требование арбитражного портфеля в общем виде может быть записано

b1X1 + b2X2 + b3X3 = 0, (17)

или для рассматриваемого примера:

0,9X1 + 3,0Х2 + 1,8Х3 = 0. (18)

При таком соотношении арбитражный портфель не обладает чувствительностью к промышленному производству. На основе выведенных формул можно определить множество потенциальных арбитражных портфелей. Ими являются портфели, удовлетворяющие уравнениям (16)и (18).

В данном случае имеется три неизвестных (X1, Х2 и Х3) и два уравнения, что означает существование бесконечного числа комбинаций значений X1, Х2 и Х3, удовлетворяющим этим двум уравнениям. Для того чтобы найти одну комбинацию, предположим, что X1равен 0,1. В результате получим:

Чтобы определить, является ли портфель арбитражным, необходимо определить его ожидаемую доходность. Если доходность положительна, портфель является арбитражным. Математически третьим, и последним, требованием к арбитражному портфелю является следующее:

• r1Х1 + r2Х2 + r3Х3>0

15Х1 + 21Х2 + 12Х3>0

Для представленного в примере портфеля ожидаемая доходность равна:

15?0,1 + 21?0,075 + 12?(-0,175) = 0,975 %.

Так как доходность положительна, то данный портфель является арбитражным.

Найденный арбитражный портфель предполагает покупку акций первого вида на 1 200 000 д.е. и акций второго — на 900 000 д.е.. Данные суммы получаются путем умножения текущей рыночной стоимости портфеля (W0) на доли арбитражного портфеля (X1 и Х2).

Для осуществления этой покупки берутся деньги, возникающие от продажи акций третьего вида на сумму 2 100 000 д.е..

Таким образом, этот арбитражный портфель привлекателен для инвестора, который, стремится к большему доходу и не тревожится о не факторном риске. Этот портфель не требует дополнительных инвестиций, не имеет факторного риска и обладает положительной ожидаемой доходностью.

APT оставляет без ответа вопросы о количестве и сущности факторов, которые должны учитываться при оценке ожидаемых доходностей. Однако на практике было выявлено, что любой отдельно взятый фактор или совокупность факторов имеют некоторые общие характеристики. Во-первых, они отражают показатели общей экономической активности (промышленное производство, общие продажи и ВНП).

Во-вторых, они отражают инфляцию. В-третьих, они содержат разновидности фактора процентной ставки (либо разность, либо саму ставку).

Учитывая то, что цена акции может рассматриваться как дисконтированная величина будущих дивидендов, то этот фактор имеет интуитивный характер. Будущие дивиденды зависят от общей экономической ситуации, а ставка дисконтирования, используемая для определения приведенной текущей стоимости, зависит от инфляции и процентных ставок.

3.3 Анализ акций

С точки зрения управления портфелем ценных бумаг риск, связанный с той или иной бумагой, выражается в том, насколько она повышает риск хорошо диверсифицированного портфеля. В терминах модели САРМ такие портфели в основном подвержены рыночному риску. Это говорит о важности такого показателя, как коэффициент «бета» бумаги, показывающий ее чувствительность к колебаниям рынка в будущем.

Предположим, что доходность обыкновенных акций за определенный период времени (например, месяц), связана с доходностью за данный период акции на рыночный индекс, такой, например как широко известный S&P 500. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти цена акции, а с падением рыночного индекса, вероятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения данной взаимосвязи носит название рыночная модель.

ri = ?iI + ?iI?rI + ?iI, 20

где ri- доходность ценной бумаги i за данный период;

• rI -доходность на рыночный индекс I за этот же период;
• ?iI — коэффициент смещения;
• ?iI — коэффициент наклона;
• ?iI — случайная погрешность.

Предположив, что коэффициент наклона положителен, из уравнения 20 можно заметить следующее: чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше будет доходность ценной бумаги (заметим, что среднее значение случайной погрешности равно нулю).

Член уравнения — случайная погрешность — просто показывает, что рыночная модель не очень точно объясняет доходность ценных бумаг. Ей приписывается разность между действительным и ожидаемым значениями доходности при известной доходности рыночного индекса. Случайную погрешность можно рассматривать как случайную переменную, которая имеет распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, обозначенным ??i.

Рыночная модель представлена графически на рисунке 9. Прямые линии L1 иL2 представляют собой графики рыночной модели двух ценных бумаг. Эти линии, связаны с уравнением (20), но без учета случайной погрешности. Случайная погрешность позволяет сделать предположение, что при данной доходности на рыночный индекс действительная доходность ценной бумаги обычно лежит вне прямой, задаваемой уравнением рыночной модели.

Рисунок 9 — Рыночная модель

Наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс. Обе линии на рисунке9 имеют положительный наклон, показывающий, что чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше доходности этих ценных бумаг. Однако прямыеL1 и L2 имеют различный наклон. Это означает, что бумаги имеют различную чувствительность к доходности на индекс рынка. Точнее, ценная бумага А имеет больший наклон, чем ценная бумага В, показывающий, что доходность бумаги А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем доходность бумаги В.

Предположим, что ожидаемая доходность на рыночный индекс составляет 5%.Тогда если фактическая доходность на рыночный индекс составит 10%, то она превысит на 5% ожидаемую доходность. Часть (а) рисунка 9 показывает, что доходность ценной бумаги А должна превысить изначально ожидаемую доходность на 6% (14% — 8%).

Аналогично, часть (б) показывает, что доходность ценной бумаги В должна превысить изначально ожидаемую доходность на 4% (7% — 3%).

Причиной разности в 2% (6% — 4%) является тот факт, что ценная бумага А имеет больший наклон, чем ценная бумага В, т.е. бумага А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем бумага В.

Коэффициент наклона рыночной модели часто называют «бета» — коэффициентом и вычисляют так:

?iI= ?iI/ ?I2, (21)

где ?iI — ковариация между доходностью i и доходностью на рыночный индекс;

• ?I2 — обозначает дисперсию доходности на индекс.

Для оценки «беты» должны быть учтены все возможные источники подобных колебаний. Затем необходимо оценить, как отреагирует цена бумаги на каждое из этих изменений, а также вероятность такого изменения. При этом должны учитываться экономическое состояние отрасли, положение фирмы в отрасли, ее финансовое состояние и другие фундаментальные факторы.

В качестве примера рассмотрим апостериорную оценку коэффициента «бета» для фирмы АВС с использованием гипотетического рыночного индекса. В таблице 2 представлена доходность бумаг фирмы АВС и рыночного индекса за последние 16 кварталов, а на рисунке 10 приведена точечная диаграмма доходности бумаг АВС (rАВС) и рыночного индекса (rI) и показан график рыночной модели без учета случайного слагаемого.

Рисунок 10 — Рыночная модель для АВС

Таблица 2 — Рыночная модель для компании АВС

Квартал	Доходность АВС (Y),%	Доходность индекса(Х),%	Y2	X2	Y?X
1	-13,38	2,52	178,92	6,35	-33,71
2	16,79	5,45	282,00	29,71	91,54
3	-1,67	0,76	2,77	0,57	-1,26
4	-3,46	2,36	11,99	5,58	-8,18
5	10,22	8,56	104,53	73,36	87,57
6	7,13	8,67	50,79	75,19	61,80
7	6,71	10,80	45,07	116,59	72,49
8	7,84	3,33	61,47	11,08	26,10
9	2,15	-5,07	4,62	25,66	-10,89
10	7,95	7,10	63,22	50,42	56,46
11	-8,05	-11,57	64,74	133,87	93,09
12	7,68	4,65	58,97	21,58	35,67
13	4,75	14,59	22,55	212,97	69,29
14	7,55	2,66	57,03	7,05	20,05
15	-2,36	3,81	5,58	14,54	-9,01
16	4,98	7,99	24,78	63,85	39,78
Сумма	54,84	66,62	1039,03	848,38	590,80

На основе данных приведенных в таблице с использованием метода наименьших квадратов вычислим соответствующие коэффициенты необходимые для построения рыночной модели акций АВС:

1. «Бета»-коэффициент

• (22)

2. «Альфа»-коэффициент

• (23)

Согласно формуле(20) рыночная модель для АВС принимает вид:

rАВС = 0,79 + 0,63?rI + ?ABC.

Расстояние по вертикали от каждой точки диаграммы до прямой есть оценка величины случайного слагаемого (?ABC) для соответствующего квартала.

Истинные значения коэффициентов «бета» и «альфа» ценной бумаги невозможно установить, можно лишь оценитьэти значения, т.е. дать оценку отклонения прогнозируемого значения от истинного:

3. Стандартная ошибка «беты»

(24)

4. Стандартная ошибка «альфы»

• (25)

Взаимосвязь доходности ценной бумаги АВС и доходности рыночного индекса определяется с помощью коэффициента корреляции:

• (26)

Поскольку эта величина лежит в пределах от -1 до +1, то значение 0,52 для доходности бумаг АВС говорит о средней силе положительной корреляции между доходностью АВС и рыночным индексом.

Для того, чтобы определить в какой степени колебания доходности бума АВС можно отнести за счет колебаний доходности рыночного индекса найдем значение коэффициента детерминации