2. Обзор основных результатов 2.1 Метод Хелмерса – Мангку [1]……………………….…….…………..…10 2.2 Метод Беббингтона – Зитикиса [2]…………………..………………….….13 2.3 Метод Белитсера – Серра – ван Зантена [3]…………………………….18 Заключение……………………………………………………………..…………20 Список литературы…………………………………………………..……………21 Глава 1.
1.1 Определения и основные обозначения.
В этой работе мы будем рассматривать специальный случай неоднородного процесса Пуассона – циклический процесс Пуассона, т.е. процесс с периодической интенсивностью. Дадим определение такого процесса.
Определение 1. Неоднородный процесс Пуассона с периодической интенсивностью. Пусть 𝑋(𝑠), 𝑠 ≥ 0 – процесс с независимыми приращениями. Тогда
[Λ(𝑠) − Λ(𝑡)]𝑘 ∗ 𝑒 −[Λ(𝑡)−Λ(𝑠)]
𝑃 (𝑋 (𝑠 ) − 𝑋 (𝑡 ) = 𝑘 ) = , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑠,
𝑘! где Λ называется ведущей функцией процесса. Производная этой функции называется интенсивностью Λ′ (𝑠) = 𝜆(𝑠) . Причем в данном случае 𝜆(𝑠) – периодическая функция. У однородного процесса 𝜆 постоянна: Λ(𝑠) = 𝜆𝑠, а у
𝑠 неоднородного Λ(𝑠) = ∫0 𝜆 (𝑡)𝑑t.
Из определения процесса Пуассона видно, что приращения этого процесса имеют распределение Пуассона с параметрами Λ(𝑠) − Λ(𝑡).
Отсюда следует, что математическое ожидание приращения для любых двух точек 𝑡 ≤ 𝑠 равно разности этих функций.
𝑠 𝐸(𝑋(𝑠) − 𝑋(𝑡)) = Λ(𝑠) − Λ(𝑡) = ∫𝑡 𝜆(𝑡)𝑑t И, соответственно, если есть интенсивность, то это интеграл. Дисперсия совпадает с математическим ожиданием: 𝐷(𝑋(𝑠) − 𝑋(𝑡)) = Λ(𝑠) − Λ(𝑡).
1.2 Введение.
Понятие потока однородных событий возникло в математике как отражение различных реальных явлений, например, потока вызовов на АТС, потока клиентов, несчастных случаев, прибытия пациентов в отделении интенсивной терапии больницы, при анализе транспортных потоков на магистралях. Он также применяется в страховании и анализе финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Теорию потока однородных событий разработал советский математик А. Я. Хинчин, впоследствии она легла в основу теории массового обслуживания. Целью исследований теории массового обслуживания является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков, поступающих в систему и выходящие из неё, а также длительности ожидания.
Методы для анализа натуральной периодической или циклической информации хорошо понятны в случае, когда данные формируют временные ряды. Тем не менее, часто данные состоят из событий, случайным образом расположенных в промежутке времени. Точечные процессы образуют естественный класс стохастических моделей для таких данных. Мы называем данные циклическими, если функция интенсивности является периодической. Такие процессы стали рассматривать в связи с необходимостью решать прикладные задачи, в которых определенные события происходят в случайные моменты времени и с некоторой периодичностью. Хорошую интерпретацию циклического процесса дает процесс моментов отказа технического оборудования, зависящего от сезонных факторов: мороз, жара, влажность и т.д. Интенсивность таких процессов часто можно считать периодической, она зависит от времени года. Для моделирования таких потоков используют процесс Пуассона.
Потоки в логистике. Логистические операции
... потока (равномерные, неравномерные); По степени периодичности (периодические, непериодические); По сложности (простые и сложные); По управляемости (управляемые, неуправляемые); Основными потоками в логистике являются: Материальный поток – грузы, ТМЦ, детали, рассматриваемые в процессе ... распределения. Модуль управления и ввода данных включается в работу, когда поступает информация извне или когда ...
Во многих задачах обычно используется то, что период известен. Но на практике это часто бывает не так. Оценка периода является интересной проблемой сама по себе, но также и является важным компонентом для непараметрического оценивания функции интенсивности. Если мы не знаем периода, то мы не можем оценить и функцию интенсивности, так как существующие методы оценки функции интенсивности основаны на знании периода и нуждаются в оценке периода до построения непараметрической оценки. Проблема оценки может быть формально сформулирована так: мы хотим оценить одномерный параметр (период) в присутствии бесконечномерного дополнительного параметра (функция интенсивности).
Поэтому для нас основной интерес составляет оценка или аппроксимирование этой функции интенсивности 𝜆(𝑠) и существующие методы для этого.
Рассмотрим Х неоднородный точечный процесс Пуассона на действительной прямой ℝ с неизвестной локально интегрируемой функцией интенсивности 𝜆(𝑠) для некоторого периода 𝜏 > 0. Мы рассмотрим ситуацию, когда интенсивность 𝜆 – это периодическая функция, т.е. выполняется такое равенство: 𝜆(𝑠) = 𝜆(𝑠 + 𝑘𝜏), 𝑘 = ±1, ±2, …, где 𝜏– это наименьшая величина, для которой это выполняется — период. Предположим, что мы имеем только одну реализацию Х в ограниченном временном интервале или «окне», 𝑊 ⊂ ℝ.
Если лямбда произвольная параметрическая функция, допустим: λ(s)=sin (ax+b), то для оценки параметров можно воспользоваться методом максимального правдоподобия.
Часто бывает так, что параметрическая модель не верна, возникает ситуация с многомодальностью, когда функция интенсивности внутри периода имеет несколько максимумов, т.е. может не описываться никакой параметрической моделью. Поэтому очень важно иметь непараметрическме методы оценки периода.
