Теория игр была основана Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном в их первой работе «The Theory of Games and Economic Behavior», изданной в 1944 году. В 1928 году в математических анналах фон Нейманом была опубликована статья «О теории общественных игр», в которой впервые было применено понятие «теория игр». Использование этого понятия объясняется схожестью логики принятия решений в таких играх, как шахматы и покер. Характерным для таких ситуаций является то, что результат для принимающего решение зависит не только от его решения, но и от того, какое решение примут другие. Поэтому оптимальный исход не может быть получен в результате принятия решения одним лицом.
Другим предшественником теории игр по праву считается французский математик Э. Борель (1871-1956).
Некоторые фундаментальные идеи были независимо предложены А. Вальдом (1902-1950), заложившим основы нового подхода к статистической теории принятия решений.
Первые приложения теория игр нашла в математической статистике. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Ее использовали как плодотворный источник теоретических моделей в экономике и социологии. Методы теории игр используются также в теории операций и в линейном программировании.
В начальной школе для обучения детей используют различные правила и инструкции, поэтому в этом возрасте можно развивать у них алгоритмическое мышление, которое не только приводит к более прочному усвоению знаний, но и к вхождению в компьютерный мир.
Изучение «Теории игр» в начальной школе поможет сформировать у детей умение анализировать условие задачи, продумывать последовательность действий, направленных на ее выполнение. Контролировать правильность своих действий на всех этапах работы и корректировать их в случаях допущенной ошибки, то есть направить учащихся на формирование широкого спектра умений, которые будут необходимы в дальнейшей учебной и учебно-трудовой деятельности ребенка, а в будущем и любой профессиональной деятельности.
изучение теоретических положений по
Теория игр
Предмет исследования: Обучение теории игр в начальной школе.
Задачи исследования:
изучить теоретический материал
отобрать задачи для практической реализации
разработать алгоритмы решения задач
Институциональная экономическая теория
... экономической теории с другими общественными науками, или «вера в преимущества междисциплинарного подхода»; 3) недовольство недостаточной эмпиричностью классической и неоклассической теорий, призыв к детальным количественным исследованиям». ... методами. Их теории положили начало новому направлению экономической мысли, которое ныне принято называть социально-институциональным или просто ...
программно реализовать отобранные задачи
разработать элективный курс
создать электронное пособие
Гипотеза:, Новизна работы
На данный момент не существует школьного курса по теме теории игр в начальной школе.
Создана программная поддержка, позволяющая осуществить эффективное изучение данной темы в начальной школе.
Разработан элективный курс “Элементы теории игр в начальной школе» и программно-методическая поддержка к нему.
Глава I Основные положения Теории игр
1.1 Предмет и задачи теории игр
В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях — отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.
Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными.
Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой — стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.
теорией игр.
Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.
Теория игр и ее применение в экономике
... сторон зависят от мероприятий партнёра. Такие ситуации относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнёров. В экономике ... стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко. 3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР В ЭКОНОМИКЕ В качестве примеров здесь можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ...
Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта.
Определение 1. Игрой называется упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам.
функцией выигрыша
Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтных ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шашки, шахматы, карточные игры и т.д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающего «победой» (выигрышем) того или иного игрока.
Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр. Терминология, заимствованная из практики таких игр, применяется и при анализе других конфликтных ситуаций: стороны, участвующие в них, условно именуются » игроками «, а результат столкновения — «выигрышем » одной из сторон.
правилами игры»
Стратегией, Оптимальной
Основное предположение, исходя из которого находят оптимальные стратегии, состоит в том, что противник по меньшей мере так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели.
Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.
Всякая игра состоит из отдельных партий.
Определение 5. Партией называется каждый вариант реализации игры определенным образом.
В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы.
Определение 6. Ходом называется выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.
Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. Набор возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов обеих сторон. Например, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора, например с применением таблицы случайных чисел. Примером могут служить бросание монеты или игральной кости.
Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порождают различные виды игр. Классифицировать игры можно по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное число игроков.
игрой двух лиц
В зависимости от количества стратегий в игре они делятся на конечные или бесконечные. В зависимости от взаимоотношений участников различают игры бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения), или некооперативные, и коалиционные, или кооперативные. По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой.
Игрой с нулевой суммой
В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса участников идет организатору лотереи.
По виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и др.
Матричной
В биматричных играх выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр различаются видом аналитического выражения платежной функции. По количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов).
Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др. В зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией.
В реальных конфликтных ситуациях каждый из игроков сознательно стремится найти наилучшее для себя поведение, имея общее представление о множестве допустимых для партнера ответных действий, но не ведая о том, какое же конкретное решение будет выбрано им в данный момент. В этом проявляется в равной мере неопределенность ситуации для каждого из партнеров.
стратегическими.
играми с природой,
В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает: если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то в статистических играх «природа», будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия (будем говорить: реализовывать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).
В дальнейшем мы будем рассматривать только парные матричные игры с нулевой суммой. Так как в случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы — стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций. [9, 16, 17, 40, 46]
1.2 Решение матричной игры в чистых стратегиях
Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной ситуации, в которой имеется два участника и выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий А i , , а игрок В выбирает одну из возможных стратегий В j , . Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно a ij и — a ij . Цель игрока А — максимизировать величину a ij , а игрока В — минимизировать эту величину.
Определение 1.
называется платежной матрицей, или матрицей игры.
Пример . В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанная игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.
У первого игрока три стратегии (варианта действия): А 1 (записать 1), А 2 (записать 2), А 3 (записать 3); у второго игрока также три стратегии: В 1 , В 2 , В 3 ( табл.1).
Таблица 1
|
В 1 = 1 |
В 2 = 2 |
В 3 = 3 |
||
|
А 1 = 1 |
0 |
-1 |
-2 |
|
|
А 2 = 2 |
1 |
0 |
-1 |
|
|
А 3 = 3 |
2 |
1 |
0 |
|
Задача первого игрока — максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока — минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока. Платежная матрица имеет вид
Задача каждого из игроков — найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.
Найдем наилучшую стратегию первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию А i , , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.
Определение 2.
Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше .
Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии В j , в худшем случае получит проигрыш . Он выбирает стратегию B j опт , при которой его проигрыш будет минимальным и составит
Определение 3.
Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше .
Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство .
Определение 4.
=,
то выигрыш игрока А
Определение 5.
Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность — решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.
Определение 6.
Найдем решение игры рассмотренного выше примера:
= 3 — нижняя цена игры.
= 3 — верхняя цена игры.
Так как = = 0, матрица игры имеет седловую точку.
Оптимальная стратегия первого игрока — А 3 , второго — B 3 . Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от В 3 увеличивает его проигрыш.
Наличие седловой точки в игре — это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.
Определение 7.
Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, «крестики-нолики» и т.д.
Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.
В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v . Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно — мы пока не знаем (к счастью для любителей шахмат).
Прибавим еще: вряд ли будем знать в обозримом будущем, так как число стратегий так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку. Указать откуда это взялось, т.е. указать ссылки
1.3 Решение матричной игры в смешанных стратегиях
Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. < и , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.
Определение 1.
В игре, матрица которой имеет размерность m n , стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей (x 1 , x 2 ,…, x m ), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m -мерные векторы, для координат которых выполняются условия
, x i 0, .
Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n -мерные векторы (y 1 , y 2 ,…, y n ), для координат которых выполняются условия
= 1, y j 0, .
Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен
Теорема 1. ( Неймана. Основная теорема теории игр ) Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий. Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: v . Применение первым игроком оптимальной стратегии опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение
Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение
Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий.
Определение 2., Определение 3.
Пример. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей
= max ( 2, 2, 3,2) = 3, = min ( 7, 6, 6, 4,5) = 4, , .
Все элементы стратегии А 2 меньше элементов стратегии А 3 , т.е. А 2 заведомо невыгодна для первого игрока и ее можно исключить. Все элементы А 4 меньше А 3 , исключаем А 4 .
Для второго игрока: сравнивая В 1 и В 4 , исключаем В 1 ; сравнивая В 2 и В 4 , исключаем В 2 ; сравнивая В 3 и В 4 , исключаем В 3 . В результате преобразований получим матрицу
= max ( 2,3) = 3, = min ( 4,5) = 4, , .
1.4 Решение игр графическим методом
Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.
Первый случай.
без седловой точки. Решением игры являются смешанные стратегии игроков ( x 1 , x 2 ) и (y 1 , y 2 ), где x 1 — вероятность применения первым игроком первой стратегии, x 2 — вероятность применения первым игроком второй стратегии, y 1 — вероятность применения вторым игроком первой стратегии, y 2 — вероятность применения вторым игроком второй стратегии. Очевидно, что
x 1 + x 2 = 1, y 1 + y 2 = 1.
Найдем решение игры графическим методом. На оси ОX отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец (x = 0) соответствует стратегии первого игрока А 1 , правый (x = 1) — стратегии А 2 . Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям (x 1 , x 2 ) первого игрока, где x 1 =1 — x 2 . Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОX , на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В 1 , то выигрыш при использовании первым игроком стратегий А 1 и А 2 составит соответственно а 11 и а 21 . Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В 1 В 1 . Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М , лежащая на этом отрезке. (см. рис.1)
В1 а21
М
В1
а11
х2 х11 Х
Рис.1. Подписать рисунок
Аналогично строится отрезок В 2 В 2 , соответствующий стратегии В 2 игрока В.
Определение 1., Определение 2.
В игре (2 2) обе стратегии являются активными.
В1 а21
В2
а12 К
В2 а22
В1
а11 v
О х2 N х1 1 Х
Рис.2.
Ломаная В 1 КВ 2 является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А. (см. рис.2) Точка К , в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений
Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что
x 1 + x 2 = 1, получим , , (1)
- (2)
Составляя аналогичную систему
и учитывая условие
y 1 + y 2 = 1,
можно найти оптимальную стратегию игрока В:
- (3)
Пример 1 . Найти решение игры, заданной матрицей
= max ( 1,1) = 1, = min ( 3,2) = 2, , . Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока. (см. рис.3)
Рис.3.
По формулам (1) — (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:
x 1 = 1/3, x 2 = 2/3; y 1 = 2/3, y 2 = 1/3; v =5/3.
Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков (1/3, 2/3) и (2/3, 1/3), цена игры составляет v =5/3.
Данный ответ означает следующее:
- если первый игрок с вероятностью 1/3 будет применять первую стратегию и с вероятностью 2/3 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 5/3;
- если второй игрок с вероятностью 2/3 будет применять первую стратегию и с вероятностью 1/3 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 5/3.
Второй случай.
Для каждой из n стратегий игрока В строится соответствующий ей отрезок на плоскости. Находится нижняя граница выигрыша, получаемого игроком А, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наибольшему выигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока В, отрезки которых проходят через данную точку. Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока В. Игра сводится к игре с матрицей (2 2).
Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) — (3).
Пример 2 . Найти решение игры, заданной матрицей
= max ( 1,1) = 1, = min ( 4, 3, 3,4) = 3, , .
Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока. (см. рис.4)
Рис.4.
Нижней границей выигрыша для игрока А является ломаная В 3 КВ 4 . Стратегии В 3 и В 4 являются активными стратегиями игрока В. Точка их пересечения К определяет оптимальные стратегии игроков и цену игры. Второму игроку невыгодно применять стратегии В 1 и В 2 , поэтому вероятность их применения равна нулю, т.е. у 1 = у 2 = 0. Решение игры сводится к решению игры с матрицей (2 2)
= max ( 1,1) = 1, = min ( 3,4) = 3, , .
По формулам (1) — (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:
x 1 = 2/5, x 2 = 3/5; y 3 = 3/5, y 2 = 2/5; v =11/5.
Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков (2/5, 3/5) и (0, 0, 3/5, 2/5), цена игры составляет v =11/5.
Данный ответ означает следующее:
- если первый игрок с вероятностью 2/5 будет применять первую стратегию и с вероятностью 3/5 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 11/5;
— если второй игрок с вероятностью 3/5 будет применять третью стратегию, с вероятностью 2/5 четвертую и не будет использовать первую и вторую стратегии, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 11/5.
Третий случай.
Решение игры может быть получено аналогично случаю два. Для каждой из m стратегий игрока А строится соответствующий ей отрезок на плоскости.
Находится верхняя граница проигрыша, получаемого игроком В, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наименьшему проигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока А, отрезки которых проходят через данную точку.
Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока А. Игра сводится к игре с матрицей (2 2).
Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) — (3).
Пример 3 . Найти решение игры, заданной матрицей
= max ( 3, 2, 0, — 1) = 3, = min ( 4,6) = 4, , . Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям первого игрока. (см. рис.5).
Рис.5.
Верхней границей проигрыша для игрока В является ломаная А 1 КА 4 . Стратегии А 1 и А 4 являются активными стратегиями игрока А. Точка их пересечения К определяет оптимальные стратегии игроков и цену игры. Первому игроку невыгодно применять стратегии А 2 и А 3 , поэтому вероятность их применения равна нулю, т.е. x 2 = x 3 = 0. Решение игры сводится к решению игры с матрицей (2 2)
= max ( 3, — 1) = 3, = min ( 4,6) = 4, , .
По формулам (1) — (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:
x 1 = 7/8, x 4 = 1/8; y 1 = 3/8, y 2 = 5/8; v =27/8.
Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков (7/8, 0, 0, 1/8) и (3/8, 5/8), цена игры составляет v =27/8.
Данный ответ означает следующее:
- если первый игрок с вероятностью 7/8 будет применять первую стратегию, с вероятностью 1/8 четвертую и не будет использовать вторую и третью стратегии, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 27/8;
- если второй игрок с вероятностью 3/8 будет применять первую стратегию и с вероятностью 5/8 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 27/8.
1.5 Сведение матричной игры к задаче линейного программирования
Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей
Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. < и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x 1 , x 2 ,…, x m ) и (y 1 , y 2 ,…, y n ).
Применение первым игроком оптимальной стратегии опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.
Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место ограничения
Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v > 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число.
Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.
(1)
где
, . (2)
По условию x 1 + x 2 + … +x m = 1.
Разделим обе части этого равенства на v.
Оптимальная стратегия ( x 1 , x 2 ,…, x m ) игрока А должна максимизировать величину v , следовательно, функция
(3)
должна принимать минимальное значение.
Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции (3) при ограничениях (1), причем на переменные наложено условие неотрицательности (2).
Решая ее, находим значения , и величину 1/ v , затем отыскиваются значения x i = vt i .
Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.
Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока B, для которой имеют место ограничения
Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.
(4) где , . (5)
По условию y 1 + y 2 + … +y n = 1. Разделим обе части этого равенства на v.
Оптимальная стратегия ( y 1 , y 2 ,…, y n ) игрока В должна минимизировать величину v , следовательно, функция
(6)
должна принимать максимальное значение.
Получена задача линейного программирования: найти максимум целевой функции (6) при ограничениях (4), причем на переменные наложено условие неотрицательности (5).
Таким образом, для нахождения решения игры имеем симметричную пару двойственных задач линейного программирования. Можно найти решение одной из них, а решение второй находится с использованием теории двойственности.
Пример. Найти решение игры, заданной матрицей
= max ( 2, 3,1) = 3, = min ( 4, 5, 6,5) = 4, , .
Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий.
Для определения оптимальной стратегии игрока А имеем следующую задачу линейного программирования:
Для нахождения оптимальной стратегии игрока В имеем следующую задачу линейного программирования:
Оптимальные решения пары двойственных задач имеют вид
Учитывая соотношения между x i и t i , y j и sj , а также равенство
можно найти оптимальные стратегии игроков и цену игры:
(1/2, 1/2, 0), (3/4, 0, 0, 1/4), v =7/2.
1.6 Игры с природой
В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша).
Однако в некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.).
Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.
Условия игры задаются матрицей
Пусть игрок А имеет стратегии А 1 , А 2 , …, А m , а природа — состояния В 1 , В 2 , …, В n . Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность p j каждого состояния природы В j . При этом, если учтены все возможные состояния, p 1 + p 2 + … + p j + … + p n = 1.
Если игрок А выбирает чистую стратегию А i , то математическое ожидание выигрыша составит p 1 a i 1 </ ………..
